방향파 스펙트럼은 파도의 주파수와 입사 방향에 따라 분포된 에너지를 나타내는 함수로, 해양 구조물이나 선박에 작용하는 파랑 하중을 정확히 평가하기 위한 핵심 요소이다. 본 연구에서는 식(1)과 같이 장파와 단파를 동시에 표현 가능한 10개 파라미터 이중 봉우리 파 스펙트럼 (10 parameter bimodal wave spectrum)을 사용하였다 (Tannuri et al., 2003).

H_s는 유효 파고(significant wave), λ는 형상 모수(shape parameter), θ_mean은 파도의 평균 입사 방향(mean wave direction), ω_p는 피크 주파수(angular peak frequency)이며 s는 확산 모수(spreading parameter)를 의미한다. A(s)는 정규화 계수로 식(2)로 정의된다.

이 함수는 cos^2s곡선의 면적을 정규화하기 위한 역할을 하며, 또한, 확산 모수 s가 최댓값을 갖고, ω가 ω_p보다 크거나 작을 경우 s가 감소하도록 식 (3)과 같이 정의된다 (Goda, 2000).

여기서 ceil [•]함수는 입력값을 근접한 정수로 반올림하는 수치적 테크닉이다.

파랑과 선박의 응답이 선형적으로 관련된다고 가정할 경우, 선박의 운동 응답 스펙트럼과 방향파 스펙트럼은 RAO를 통해 서로 연계될 수 있다. 특히, 두 응답 간의 교차 스펙트럼은 각 응답의 RAO와 방향파 스펙트럼 간의 함수적 관계로 표현된다. 방향파 스펙트럼을 E(ω,β), 응답 간의 교차 스펙트럼을 S_ij(ω), 그리고 응답 i,j에 대한 RAO를 각각 H_i(ω,β),H_j(ω,β)라고 하면, 이 관계는 식(4)처럼 표현할 수 있다.

여기서 Hj*ω,β는 H_j(ω,β)의 켤레 복소수이며, β는 선박의 진행 방향과 파 방향 사이의 상대 각이다.

방향파 스펙트럼이 파 주파수 ω₀에서 정의될 경우, 실제 계측 응답은 조우 주파수 ω_e에서 측정되므로, 두 주파수 간의 변환이 필요하다. 에너지 보존 법칙에 따라 주파수 변환 관계는 식(5)와 같다.

여기서 선박이 전진 속도 U를 가지는 경우, 도플러 효과로 인해 ω_e와 ω₀간의 변환은 식(6)과 같은 관계를 갖는다.

이러한 변환은 주파수 간 비선형성을 유발하며, 특히 선미파 조건에서는 하나의 조우 주파수가 세 개의 서로 다른 파 주파수에 대응하는 1:3 관계를 가질 수 있다. 이때, 각 파 주파수의 기여를 고려하여 조우 주파수 영역의 스펙트럼은 식(7)과 같이 표현된다.

모수 추정 방법은 방향파 스펙트럼을 추정하고, 이를 기반으로 계산된 예측 응답 스펙트럼과 실제 계측 응답 스펙트럼 간의 오차를 최소화하는 방식으로 수행된다. 이때 RAO를 기반으로 예측 응답 스펙트럼을 계산하며, 조우 주파수와 파 주파수 간의 비선형 관계를 고려하여야 한다. 특히 선미파 조건에서는 하나의 조우 주파수에 복수의 파 주파수가 대응되므로, 이를 반영한 계산이 필요하다. 조우 주파수 영역에서의 예측 응답 스펙트럼 S^e,ijωe는 식 (8)로 정의된다.

여기서 <•>_ωe는 연산이 조우 주파수 ω_e기준에서 수행됨을 나타낸다.

총 L개의 이산 조우 주파수 ω_e,L와 M개의 응답 성분에 대해, 예측 응답 스펙트럼과 실제 응답 스펙트럼 간의 절대 오차를 계산한 절대 오차의 합(Sum of absolute error, SAE)은 식 (9)와 같이 정의된다.

여기서 RI{•}는 교차 스펙트럼의 대칭성을 고려하여 실수부와 허수부 중 하나를 선택하는 연산자로, i < j일 때 실수부, i > j일 때 허수부를 반환한다. 이는 중복 계산을 방지하고 교차 스펙트럼 정보를 효율적으로 활용하기 위한 목적이다.

한편, N_e,ij(ω_e,l)는 정규화 함수로, 서로 다른 물리량 간의 스펙트럼 크기 차이를 보정하여 오차함수 계산 시 각 항목이 동일한 기여도를 갖도록 조정한다. 이를 위해 다음과 같은 방식으로 정규화 항을 정의한다.

최종적으로 정규화 항은 식 (13)과 같이 정의된다.

GA는 자연계의 생물 진화 원리를 모사하여 전역 최적화를 수행하는 탐색 기법으로, Holland (1975)에 의해 제안되었다. 생물 개체군이 자연 선택과 유전적 다양성을 통해 적응력을 높이듯, GA는 세대를 거치며 해의 적합도를 점진적으로 향상한다. 복잡하고 비선형적인 탐색 공간에서 효과적으로 작동하며, 다양한 공학 분야에 활용된다.

GA는 초기 해 집단 생성, 적합도 평가, 부모 선택, 교배, 돌연변이, 새로운 세대 생성의 절차로 구성된다. 초기 집단은 무작위 또는 문제 기반의 유도 초기화 방식으로 구성되며, 이후 적합도 함수를 통해 각 개체의 성능이 평가된다. 일반적으로 적합도는 식 (14)와 같이 정의된다.

여기서 Error(a)는 개체 a의 해가 갖는 오차를 나타낸다. 적합도가 높은 개체는 다음 세대에 선택될 확률이 높아지며, 대표적인 선택 연산으로는 룰렛 휠 선택(Roulette-Wheel Selection)이 사용된다. 이때, 각 개체의 누적 선택 확률 r_i는 식 (15)와 같이 계산된다.

이때, a_k는 k번째 개체를 나타내며, N은 전체 개체 수이다. 난수 e∈[0,1)가 누적 확률 구간 [r_i-1,r_i)에 속할 때 개체 a_i가 선택된다. 선택된 부모 개체는 교배 연산을 통해 자식 개체를 생성하며, 실수 기반 문제에서는 산술적 교배(Arithmetic crossover)가 흔히 사용된다. 해당 연산은 식(16)과 같다.

여기서 α는 [0,1]사이의 가중 계수이며, a_i,a_j는 부모 개체, a~i,a~j는 자식 개체이다. 이후 해의 다양성을 확보하고 지역 최적해에 빠지는 것을 방지하기 위해 돌연변이 연산을 적용하며, 탐색이 진행됨에 따라 변이 폭을 조절하는 비균등 돌연변이(non-uniform mutation)가 식 (17)과 같이 사용된다.

여기서 x~는 변이된 유전자 값, x는 원래 값, UB및 LB는 유전자의 상한과 하한, T는 최대 세대 수, b는 변이 조절 계수이다. 또한, 해의 품질 저하를 방지하기 위해 엘리티즘(elitism) 전략이 적용되기도 하며, 이는 가장 적합한 개체를 다음 세대로 유지함으로써 최적해가 소실되는 것을 방지한다 (De Jong, 1975). 유전 알고리즘의 성능은 개체군 크기, 교배 및 돌연변이 확률 등 주요 매개변수에 민감하게 영향을 받기 때문에, 문제 특성에 맞는 설정과 실험적 조율이 필수적이다.

본 연구에서는 9,400TEU급 컨테이너선인 Rigoletto 선박을 대상으로 하였으며, 선박의 주요 제원은 Table 1에 제시되어 있다. 이 선박에 작용하는 외력에 대한 운동 및 구조 응답을 수치적으로 예측하기 위해, 파랑에 대한 선체 응답 특성을 나타내는 RAO를 활용하였고, 본 연구에서는 한국선급에서 개발한 선형 회절-방사 해석 프로그램인 SeaTrust를 이용하여 이를 계산하였다. 계산은 파 주파수를 0.05 rad/s부터 1.5 rad/s까지 0.05 rad/s 간격으로, 입사각을 0도부터 330도까지 30도 간격으로 설정하여 수행하였으며, 해석에 적용된 적재 조건은 Table 2에 정리하였다. Fig. 2에는 이러한 조건에서 계산된 RAO 결과가 도시되어 있다.

실선 계측을 위해 선체의 프레임 75와 프레임 102구간의 상·하부, 좌･우현에 총 8개의 장기 기선형 변형률계(Long Base Strain Gauge, LBSG)를 부착하였다. 계측된 변형률 데이터는 응력 데이터로 환산되어 방향파 스펙트럼 추정에 활용되었으며, 측정은 20Hz의 샘플링 주파수로 수행되었다. 각 LBSG의 부착 위치는 Fig. 1에 도시되어 있다. 계측 데이터는 아시아-유럽 항로를 운항 중인 Rigoletto에서 수집된 실선 데이터를 기반으로 하였으며, Fig. 3에는 해당 항로를 1시간 간격의 위치 정보를 활용해 지도상에 시각화한 결과를 나타내었다. 추정에 사용된 데이터는 선박의 속도 및 진행 방향의 변화가 크지 않은 구간을 선별하여 사용하였고, 해당 구간은 시간적으로 정상성을 가정할 수 있는 구간으로 설정하여 분석을 진행하였다. 또한, RAO 해석 시 적용된 적재 조건과 최대한 유사한 조건에서의 계측 데이터를 선별적으로 활용함으로써 수치 해석과 실측 간의 정합성을 높이고자 하였다. 이러한 조건을 만족하는 데이터는 1시간 단위로 분할하여 파랑 추정에 적용하였다.

Fig. 1 
Location of LBSGs

Fig. 2 
Amplitudes of RAO for midship LBSG

Fig. 3 
Sea route of Rigoletto

추정 결과의 신뢰성 확보를 위해 선박에 탑재된 레이더 기반 파랑 계측 시스템인 WaMoS의 실측 데이터를 비교 기준으로 활용하였다. WaMoS는 해수면의 표면 반사 신호를 분석하여 유의파고(significant wave height), 첨두 주기(peak period), 평균 입사각(mean wave direction) 등 다양한 파랑 특성치를 실시간으로 제공하는 장비로 알려져 있으며, 본 연구에서는 동일 시간 구간의 WaMoS 계측 결과와 추정된 방향파 스펙트럼을 비교함으로써 제안된 추정 방법론의 정확도와 신뢰성을 정량적으로 평가하였다.

본 연구에서는 실제 계측 응답 데이터를 푸리에 변환하여 주파수 영역의 응답 스펙트럼을 구하고, 이를 RAO 기반의 예측 응답 스펙트럼과 비교하여 오차를 최소화하는 방향파 스펙트럼을 GA을 통해 추정하였다. 유전 알고리즘은 실수 기반 방식(Real-Coded Genetic Algorithm)으로 구현되었으며, 주요 연산으로 무작위 초기화, 룰렛 휠 선택, 산술적 교배, 비균등 돌연변이, 엘리티즘 전략을 적용하였다.

초기 해 집단은 사전에 정의된 파라미터의 물리적 제약 조건 내에서 각 개체에 무작위 실수 값을 할당하여 생성하였으며, 집단 크기는 200개체로 설정하였다. 교배 연산은 교차 확률 0.75를 적용하였으며, 산술 교배 시 가중 계수는 [0,1] 범위의 균등 분포에서 무작위로 선택하였다. 이후 돌연변이 연산은 확률 0.1로 수행되었으며, 세대 수 1,000을 최대 반복 조건으로 설정하였다. 이와 같은 파라미터 설정은 기존의 유사 연구 (Pascoal et al., 2007) 및 내부 실험을 바탕으로 도출되었으며, 문제의 수렴 특성과 탐색 성능을 고려하여 여러 반복 실험을 통해 경험적으로 조정되었다.

방향파 스펙트럼은 원래 이중 봉우리 구조로 가정하였으나, 사용된 계측 데이터에서는 단일 파고가 지배적으로 나타났기 때문에 추정 과정에서는 단일봉우리 조건으로 단순화하여 적용하였다. 계측 데이터는 응답 에너지가 크고, 해당 RAO의 적재 조건과 유사한 환경에서 수집된 사례를 선별하여 사용하였다. 총 14개의 계측 사례에 대해 동일한 추정 절차를 적용하였으며, 각 사례에 대해 동시 시점의 WaMoS 파랑 계측 데이터가 함께 확보되어 있어, 추정된 방향파 스펙트럼의 주요 파라미터와 WaMoS 관측 결과 간의 비교･분석을 수행하였다.

Fig. 4는 본 연구에서 추정에 사용한 14개 계측 사례에 대해 계산된 방향파 스펙트럼과 해당 시점의 WaMoS 계측 결과를 비교한 것으로, 색상 등고선은 GA을 통해 추정된 방향파 스펙트럼을, 빨간 점은 WaMoS 계측 결과를 나타낸다. 이들 결과에 대한 정량적 비교는 Table 4에 제시하였다.

Fig. 4 
Estimated wave spectra and corresponding WaMoS data

전체적으로 평균 입사각은 대부분 사례에서 WaMoS 계측 결과와 유사한 값을 보이며, 파향에 대한 전반적인 방향성은 비교적 정확하게 추정된 것으로 나타났다. 그러나 일부 사례에서는 큰 오차가 발생하기도 하였으며, 특히 Case 1에서는 추정된 입사각과 WaMoS 계측 결과가 정반대의 값을 보였다. 만약 WaMoS 계측 결과가 실제 파향을 잘 반영하고 있다고 가정할 경우, 해당 사례는 선미파 조건에 해당하며, 이때 조우 주파수와 파 주파수 간에는 도플러 효과로 인해 하나의 조우 주파수에 여러 파 주파수가 대응되는 1:3 주파수 대응 현상이 나타날 수 있다. 이러한 비선형적인 주파수 관계는 특히 선미파 또는 선미사파 조건에서 두드러지며, 추정 알고리즘의 수렴을 어렵게 만드는 하나의 가능성으로 고려될 수 있다. 예를 들어, 선속이 9.5 kts일 때 조우 피크 주파수가 0.5 rad/s로 관측되면, 이에 대응하는 절대 파 주파수는 약 0.9, 1.1, 2.44 rad/s로 최대 세 개의 해가 존재하지만, 선속이 10.5 knots로 증가할 경우에는 2.44 rad/s에 해당하는 하나의 절대 파 주파수만이 대응되어 1:1 매칭이 이루어진다. 이와 같이 선속 변화에 따른 주파수 매핑의 민감도는 알고리즘이 실제 존재했던 선미파의 영향을 포착하지 못하고, 선수파 조건에 해당하는 지역 최적해로 수렴하게 만드는 원인 중 하나로 판단된다.

한편, 본 연구에 사용된 RAO는 선속 9.5 kts 조건에서 계산된 것으로, 이를 기반으로 추정에 사용된 실제 계측 데이터는 1시간 구간 중 선속 변화가 비교적 적은 구간을 선택하였다. 그러나 계측 데이터상에서는 선속이 최대 1~2 kts 수준의 변동이 존재하였으며, 이러한 변화는 앞서 언급한 바와 같이 조우 주파수에 영향을 미침으로써 특히 선미파 조건에서 추정 정확도 저하에 크게 작용했을 가능성이 있다. 향후에는 선속 보정 알고리즘을 도입하거나, 민감도 분석을 통해 정량적인 영향을 분석할 필요가 있다.

추정된 스펙트럼의 피크 주파수와 WaMoS 계측 결과 간의 차이는 응답 데이터를 주파수 영역으로 변환하는 과정에서 사용된 Welch 방법의 설정값에도 영향을 받는다. Welch 방법은 윈도우 길이, 중첩 비율, 윈도우 함수 등에 따라 스펙트럼의 형태가 달라질 수 있으며, 이에 따라 피크 주파수 위치에 차이가 발생했을 가능성이 존재한다.

또한, GA는 확률 기반 최적화 기법으로, 이론적으로는 전역 최적해에 도달할 수 있으나, 실제 계산에서는 지역 최적해에 수렴할 가능성을 항상 내포하고 있다. 따라서 특정 오차의 원인을 단일 요인으로 단정 짓기보다는, 조우-파 주파수의 비선형성, 선속의 불일치, 스펙트럼 변환 과정의 설정값, 그리고 최적화 기법의 불확실성 등 다양한 요소가 복합적으로 작용한 결과로 해석하는 것이 타당하다.

유의파고의 경우에는 모든 계측 사례에서 WaMoS 계측 결과보다 추정값이 일관되게 과소 추정되는 경향을 보였다. 이는 레이더 기반 파랑 계측 시스템인 WaMoS가 입사각이나 피크 주파수에 비해 유의파고의 계측 정확도가 낮고, 과대 추정하는 경향이 있다는 점에서 기인한 현상일 수 있다 (Andersen, 2014). 하지만 이러한 추세 역시 단일 원인으로 해석하기보다는, 계측 시스템의 한계와 알고리즘의 불확실성이 함께 영향을 미쳤을 가능성을 고려해야 한다.

Fig. 5, 6, 7은 각각 유의파고, 피크 주파수, 평균 입사각에 관해 본 연구에서 추정한 결과와 WaMoS 계측값을 비교한 그래프이다. 앞서 언급한 바와 같이, 유의파고는 전 계측 사례에서 WaMoS 계측값보다 추정값이 일관되게 낮게 나타나며, 전반적으로 과소 추정되는 경향이 뚜렷하게 관찰된다.

Fig. 5 
Comparison between estimated and WaMoS H_s

Fig. 6 
Comparison between estimated and WaMoS ω_p

Fig. 7 
Comparison between estimated and WaMoS θ_mean

피크 주파수도 과소 추정되는 사례가 다수 존재하나, 유의파고처럼 모든 사례에 해당하는 것은 아니며, 일부 사례를 제외하면 비교적 양호한 일치도를 보였다. 평균 입사각에 대해서는 다른 파라미터들과 비교하여 전반적으로 높은 추정 정확도를 나타내었으며, 대부분 사례에서 WaMoS 계측값과의 차이가 작아 신뢰할 수 있는 추정 결과를 확인할 수 있었다.

Fig. 8과 Fig. 9는 Case 10에 대해 각각 프레임 75 및 프레임 102에 부착된 LBSG를 통해 계측된 응력 응답 스펙트럼과 본 연구에서 추정한 응답 스펙트럼을 비교한 결과를 나타낸다. 이때 목표 응답 스펙트럼은 실제 계측된 응력 시계열 데이터를 푸리에 변환하여 계산된 계측 응답 스펙트럼이며, 추정 응답 스펙트럼은 유전 알고리즘을 통해 도출된 방향파 스펙트럼과 해당 위치의 RAO를 기반으로 계산된 결과이다.

Fig. 8 
Target and estimated response spectrum at Frame 75 for Case 10

Fig. 9 
Target and estimated response spectrum at Frame 102 for Case 10

실제 최적화 과정은 이처럼 계측 응답 스펙트럼과 추정 응답 스펙트럼 간의 차이를 최소화하는 방향으로 수행되며, 위 그래프에서도 전반적으로 양호한 일치도를 확인할 수 있다. 다만, 일부 센서 위치에서는 응답 에너지가 과소 또는 과대 추정되는 사례도 관측되었다. 이러한 경향은 단일 사례에 국한되지 않고, 전체 계측 사례 전반에서 공통으로 나타난 현상이다.

이러한 결과는 본 연구에서 제안한 방향파 스펙트럼 추정 기법이 다양한 해상 조건과 센서 위치에 대해 전반적으로 신뢰할 수 있는 응답 재현 성능을 보임과 동시에, 일부 사례에서는 파향 조건, 선속 오차, 주파수 변환 설정 등 복합적 요인에 따라 추정 성능이 저하되는 경우도 확인되었다. 이는 해석 모델의 한계, 계측 오차, 또는 해석 조건에 기인할 수 있으며, 향후 이러한 오차 요인을 정량적으로 평가하고 보완하는 작업이 추가로 필요하다.