기존의 선박과 달리 좌초선은 중력(F_G)과 부력(F_B) 이외에도 좌초선이 맞닿은 지면에서 발생하는 지면반력(F_R) 작용한다. 지면반력(F_R)의 크기는 선박이 좌초되면서 선박의 일부가 수면 밖으로 드러나면서 발생한 부력(F_B)의 손실분과 같다. 선박에 작용하는 힘의 분포는 Fig. 3과 같으며 중력(F_G), 부력(F_B), 지면반력(F_R) 작용점의 위치는 r_G, r_B, r_R 로 표기한다.

Fig. 3 
Forces and position vectors on a stranded ship

선박이 평형을 유지하려면 선박에 작용하는 힘과 모멘트가 평형을 이루어야 한다 (Beer et al., 2016). 좌초선은 기존의 선박과 달리 지면반력을 추가로 고려하여 힘 평형 방정식 (식 (1))과 모멘트 평형 방정식 (식 (2))을 만족하여야 한다.

지면반력과 마찰계수(μ)를 통해 이초에 필요한 힘, 이초력(Freeing Force:F_Free)을 구할 수 있다 (Naval Sea systems command., 2021). 좌초선의 이초력의 크기는 식 (3)과 같다.

즉, 이초력을 최소로 하기 위해서는 선박 내에 있는 화물의 이동, 제거를 통해 식 (1), (2)를 만족하는 자세를 찾고, 이에 따라 지면반력이 최소가 되도록 해야 한다.

비선형 유체 정역학적 해석 방법(Park et al., 2018)은 선박에 작용하는 힘과 모멘트의 크기와 immersion, heel, trim에 의한 미소 변화량을 통해 선박 자세의 미소 변화량(δz, δϕ, δθ)을 구하고 이를 반복하여 최종적으로 선박의 평형 자세를 계산하는 방법이다. 식 (4)는 선박의 immersion, heel, trim의 미소 변화량으로 인한 중력과 부력의 변화량과 선박에 작용하는 힘(F)과 모멘트(M_T, M_L)의 관계식(식 (4))을 나타낸다.

좌초선의 경우 기존 선박과 달리 지면반력이 작용하고 자세 변화도 지면반력의 작용점을 기준점으로 하기에 기존의 비선형 유체 정역학적 해석 방법을 수정하여야 한다. 우선 좌초선에 대한 적용 이전에 식을 간략화한다. 이 방법은 선박의 자세는 미소한 변화량을 가지기에 중력에 의한 힘의 크기는 immersion, heel, trim의 미소 변화량에 의한 변화가 없으며 중력에 의한 Transverse, Longitudinal Moment(M_{G, T}, M_{G, L})는 immersion의 미소 변화량(δz)에 의한 변화가 없다. 마찬가지로 미소한 자세 변화이므로 중력에 의한 Transverse, Longitudinal Moment는 각각 trim의 미소 변화량(δθ), heel의 미소 변화량(δϕ)에 의한 변화가 없다. 간략화된 식은 식 (5)와 같다.

식 (5)의 미분항을 수식으로 나타내면 식 (6)과 같다. 미분항을 D로 표기하며 유도 과정은 Park et al. (2018)을 참고한다.

식 (6)에 쓰인 변수는 Table 1과 같다.

한편, 비선형 유체정역학적 해석 방법을 좌초선의 평형 자세 계산을 위해 수정하려면 Fig. 3에 표시된 좌초선의 자세 변화량의 기준점인 R에 대한 고려가 필요하다.

좌초선은 일반 선박과 달리 LCF 기준의 회전이 아닌 좌초된 위치, 즉 지면반력(F_R)의 작용점을 기준점으로 회전한다. 회전의 기준점이 변하면, roll과 trim에 의한 각도는 그대로 유지되나 immersion은 변환된다. 즉, heel, trim에 의한 변화량(δϕ_O, δθ_O)은 기존과 같으나 immersion에 의한 미소 변화량(δz_O)은 변환이 필요하다. 여기서 δz_O,δϕ_O,δθ_O는 O coordinate에서의 변화량을 의미한다. 일반적으로 회전하는 물체에서 한 위치의 속력은 각속도와 회전하는 물체의 원점에서 해당 위치까지의 위치 벡터는 외적으로 표현된다. 좌초선은 Fig.3의 R 을 중심으로 회전하므로, 점 R 을 기준으로 O 점의 속도는 식 (7)과 같다.

여기서 ^Er_O/F은 점 R 에서 점 O 까지의 벡터, Er~O/R는 skew-symmetric 행렬로 벡터의 외적을 행렬로 표현할 때 사용된다(Blundell and Harty, 2004). 식 (7)을 풀어쓰면 식 (8)과 같다.

식 (8)에서 각속도는 일반적으로 roll(ϕ), pitch(θ), yaw(ψ)에 해당하는 각도의 변화율과 같지 않다. 따라서 식 (9)와 같은 변환 식이 사용된다 (Shabana et al., 1994).

식 (9)를 식 (8)에 대입하여 정리하면 식 (10)과 같다.

식 (10)에서 x, y와 yaw의 속도 성분은 평형 자세 계산에 필요한 항목이 아니므로, 식에서 제외하고, Yaw angle ψ에는 0을 대입하여 식 z 대한 속도 성분만 표시하면 식 (11)과 같다.

식 (11)에서 미분항을 미소 변화량으로 치환하고, δz에 관한 항을 이용하면 기존의 비선형 유체 정역학적 해석 방법의 immersion, heel, trim에 의한 미소 변화량(δz_O,δϕ_O,δθ_O)과 좌초선의 지면반력(F_R)의 작용점에서의 heel과 trim에 의한 미소 변화량(δϕ_R, δθ_R)과의 관계식 (12)를 도출할 수 있다.

식 (12)를 통해 선박의 원점을 기점으로 하는 O-coordinate 상에서의 자세 변화량과 지면반력의 작용점을 기준으로 하는 R coordinate 상에서의 자세 변화량의 변환행렬 J를 구할 수 있다.

기존의 비선형 유체 정역학적 해석 방법은 힘과 모멘트를 선박 자세의 미소 변화량과의 관계식을 이용하여 힘과 모멘트의 크기로 선박 자세의 미소 변화량을 구하는 공식을 도출한 것이다. 이처럼 지면반력과 좌초점에서 회전을 고려하여 관계식 식 (12)를 이용해 비선형 유체정역학적 해석 방법(식 (5))의 선박의 자세 변화량을 R coordinate 상에서의 변화량으로 변환한다. 변환된 식은 식 (13)과 같다.

좌초선의 자세 변화량은 변환 행렬 J를 이용하여 R coordinate 상의 값으로 나타나 있으나 좌초선에 작용하는 힘과 모멘트는 O coordinate 상의 값으로 표기되어 있어 식이 수정될 필요가 있다. 이를 R coordinate 상에서의 값으로 바꾸기 위해 좌우 변에 전치 행렬 J^T를 곱해주어 식의 내부 값들을 모두 R coordinate의 값으로 변환시킨다. 이를 통해 좌초선의 평형 자세를 구하는 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법을 도출한다(식 (14)).

식 (14)를 통해 좌초선의 자세 변화의 기준점인 R coordinate 상에서의 힘과 자세의 관계식을 구하였다. 본 연구는 좌초선에 작용하는 힘과 모멘트의 크기가 주어졌을 때 좌초선 자세의 미소 변화량을 계산하기 때문에 식 (14)의 우변 J^TDJ의 역행렬을 양변에 곱하여 좌초선의 회전 기준점 R에서의 미소 변화량을 구하는 식으로 수정하면 식 (15)와 같다.

식 (15)를 통해 좌초선에 작용하는 힘과 모멘트에 따라 좌초선 자세의 미소 변화량을 구할 수 있다. 이를 이용하여 좌초선이 정적 평형 상태일 때의 자세를 찾기 위해서는 Fig. 4과 같은 과정을 거쳐야 한다.

Fig. 4 
The procedure of finding the equilibrium position of a stranded ship

Fig. 4 순서도의 각 단계에 대한 설명은 다음과 같다.

(1) 입력 단계: 초기 또는 현재 좌초선의 자세, immersion, trim, heel 각도와 지면반력의 작용점을 입력받는다.

(2) 힘과 모멘트 계산 단계: (1) 단계에서 입력받은 값을 통해 좌초선에 작용하는 힘과 모멘트를 계산한다.

(3) 평형 자세 판단 단계: (2) 단계에서 계산된 힘과 모멘트의 크기와 임곗값을 비교하여 좌초선이 평형 자세에 도달하였는지를 판별한다. 계산값이 임곗값 이하면 평형 자세에 도달하였다고 판단하여 계산을 종료하고, 임곗값보다 크면 평형 자세에 도달하지 못하였다고 판단하여 (4) 단계로 이동한다.

(4) 좌초선 미소 변화량 계산 단계: 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법(식 (15))을 통해 R을 기준으로 한 좌초선 자세의 미소 변화량(δϕ_R, δθ_R)을 계산한다.

(5) O coordinate에서의 자세 변화량 변환 단계: 식 (12)를 통해 O coordinate 상에서의 좌초선의 자세 변화량를 구한다.

(6) 자세 업데이트 단계: (5) 단계에서 계산된 변화량을 기존의 자세에 더해 선박의 자세를 업데이트한 뒤 (1) 단계부터 다시 시작하여 선박이 평형 자세에 도달할 때까지 반복한다.

본 연구를 통해 좌초선에 적용할 수 있는 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법을 도출하고 Fig. 4의 과정을 통해 좌초선의 평형 자세를 빠르게 계산할 수 있다. 이어지는 장에서는 2장에서 도출한 좌초선의 평형 자세를 계산하는 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법을 여러 예제에 적용하여 식을 검증한다.

2장을 통해 도출한 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법을 검증하기 위해서는 복잡한 수학적 계산을 반복해야 한다. 이를 위해 본 연구에서는 C#과 Eyeshot 라이브러리를 활용하여 다음과 같은 프로그램을 개발하였다(Fig. 5).

Fig. 5 
Equilibrium calculation program of a stranded ship

개발된 프로그램은 검증에 사용될 모델의 형상과 자세를 시각화하고 본 연구에서 제안한 Fig. 4의 순서도에 따라 모델에 작용하는 힘의 작용점과 모델의 초기 자세를 입력받아 수정된 비선형 유체정역학적 해석 방법을 통해 좌초선의 평형 자세를 도출한다. 이어지는 장에서의 모든 검증은 위 프로그램을 통해 진행된다.

3.2장에서는 예제를 통해 수정된 비선형 유체 정역학적 해석 방법을 적용하여 좌초선의 정적 평형 자세를 찾아본다. 검증에 사용된 직사각형 바지선의 이미지와 제원은 Fig. 6 및 Table 2와 같다.

Fig. 6 
A stranded barge

첫 번째 예제는 선박에 trim만 발생하도록 초기 조건을 입력하였다. 바지선에 작용하는 초기 힘과 모멘트를 계산하면 Table 3와 같다.

계산된 힘과 모멘트의 크기를 Fig. 4의 (3) 단계에 대입하여 임곗값과 비교하면 식 (16)과 같다.

힘과 모멘트의 크기가 임곗값인 1보다 크기 때문에 좌초선은 평형 자세가 아니다. 따라서, Fig. 4의 (4) 단계를 통해 좌초선 자세 변화량(δϕ_R, δθ_R)을 계산한다. 식 (15)의 변수와 계산된 변화량은 Table 4와 같다.

좌초선의 자세 변화량을 기존의 좌초선에 변화량을 더한 후 식 (16)이 Tolerance 이하의 값을 가질 때까지 반복한다. 본 예제에서는 5번의 반복 시행 후 평형 자세에 도달하였다(Fig. 7).

Fig. 7 
Equilibrium attitude of the stranded barge

좌초선의 평형 자세와 좌초선에 작용하는 힘의 크기, 작용점은 Table 5와 같다.

두 번째로 지면반력의 작용점을 달리하여 Table 6과 같은 초기 상태에서 동일한 바지선의 평형 자세를 계산하였다. 이번에는 trim과 heel이 동시에 발생하도록 설정하였다. 계산 결과 20번의 반복 시행 후 최종 평형 자세를 구하였다. 이때의 자세는 Fig. 8과 같고 작용하는 힘과 작용점의 위치는 Table 7과 같다.

Fig. 8 
Equilibrium attitude of the stranded barge

이상 바지선에 대한 평형 자세 계산을 수행하였다. Trim만 발생하는 경우보다 Heel과 Trim이 동시에 발생하는 경우 반복 횟수가 훨씬 더 많이 증가하는 것을 확인할 수 있다. 이는 Trim이 수정되면 Heel에서 오차가 발생하고, 거꾸로 Heel이 수정되면 다시 Trim에서 오차가 발생하는 상관관계가 있기 때문이다. 반복 횟수가 증가하면 계산 시간도 이에 비례하여 늘어나게 되지만, 본 연구에서 제안한 평형 자세 계산 방법으로 실행 시 5회나 20회는 모두 1초 이내로 큰 차이가 없었다.

3.3장에서는 직사각형 바지선과 같은 간단한 예시가 아니라 실제 선박에서도 본 연구에서 제안한 수정된 비선형적 유체정역학적 해석 방법이 적용이 가능한지 검증한다. 본 연구는 320K VLCC를 대상으로 하였다(Fig. 9). Trim만 발생하도록 한 case 1과 heel과 trim이 동시에 발생하는 case 2, 좌초 지점을 선미로 설정한 case 3 순으로 검증을 진행한다. 모든 case 들의 초기 자세는 trim과 heel 각도가 0이며 검증에 사용된 모델과 지면반력의 제원은 Table 8과 같다.

Fig. 9 
3D model of 320K VLCC

Table 8의 제원을 기준으로 한 계산 결과는 Table 9와 같다. 식 (17)과 같이 계산 결과가 평형 자세가 아니므로 새로운 자세 계산을 수행한다. 계산 결과는 Table 10에 정리하였다.

계산된 자세의 변화량은 Fig. 4의 (5) 단계, 식 (11)을 통해 O coordinate 상에서의 값으로 변환하고 (6) 단계, 기존의 변화량에 더하여 값을 업데이트하고 좌초선에 작용하는 힘과 모멘트의 크기가 임곗값 이하가 될 때까지 계산을 반복한다. Case 1의 예제는 5번의 시행 만에 평형 자세에 도달하였다. 평형 자세, 최종 힘과 모멘트, 힘의 작용점은 Table 11에 정리하였고, 평형 자세는 Fig. 10과 같다.

Fig. 10 
Equilibrium attitude of case 1

Case 2에서는 trim과 heel이 동시에 발생할 때 좌초선의 평형 자세를 도출할 수 있는지 검토한다. 이를 위해서 기존의 모델과 같은 환경에서 Table 12와 같이 지면반력의 작용점과 모멘트를 변경한다.

Case 2는 74번의 시행 만에 평형 자세에 도달하였다. 평형 자세, 최종 힘과 모멘트, 힘의 작용점은 Table 13에 정리하였고, 평형 자세는 Fig. 11과 같다.

Fig. 11 
Equilibrium attitude of case 2

Case 3에서는 좌초 지점의 위치를 Table 14와 같이 선미에 두었다.

Case 3은 69번의 시행만에 평형 자세에 도달하였다. 평형 자세, 최종 힘과 모멘트, 힘의 작용점은 Table 15에 정리하였고, 평형 자세는 Fig. 12과 같다.

Fig. 12 
Equilibrium attitude of case 3