데이터 기반 모델링의 구성에서 풍속과 V에 따른 n의 추정 단계를 이해하기 위해 유사한 선형의 실험 결과를 이용해 결정론적 부가동력 모델을 먼저 개발했다. Fig. 4에 부가동력 해석을 위한 물리적 모델의 구성을 나타냈다. 주어진 해상환경 변수로부터 풍하중과 파도로 인한 부가저항을 우선 계산한다. 1978 ITTC 성능추정법 (ITTC, 2021)에서 제안된 저항 추정식에 해상환경으로 인한 저항 성분을 추가한 식 (4)를 이용해 선체의 전저항계수(C_T)를 계산하였다. C_R, C_F는 각각 잉여저항계수, ITTC 1957 모형-실선 상관곡선에 따른 마찰저항계수이다. C_A는 1978 ITTC 성능추정법에서 제안한 표면거칠기의 보정과 모형선-실선 상관관계의 수정계수를 더한 값이다.

Fig. 4 
Structure of deterministic added power model

1978 ITTC에서 성능추정법의 공기저항계수(C_AA)는 정속 항주 중 선속으로 인한 공기저항만을 다루나, 본 연구에서는 풍속 영향을 추가하였다. 풍하중은 선체의 전면 투영면적(A_P)을 이용해 식 (5)와 같이 계산한다.

여기서 ρ, S는 각각 유체의 밀도와 선박의 침수면적이고, C_D는 항력계수로 0.5를 적용한다. V+U_Wcos(ψ_W)가 0보다 작다면 바람은 추가적인 추력으로 해석된다.

파도로 인한 부가저항을 해석하기 위해서는 주어진 해상환경 변수로부터 파 스펙트럼을 구한다. 그리고 규칙파에서 수행한 파장 별 부가저항 시험 결과인 2차 전달함수(quadratic transfer function, QTF)를 이용해 해당 해상환경과 주어진 V에서 파도로 인한 부가저항의 스펙트럼을 얻어 부가저항계수(C_add)를 계산해낸다.

풍속에 따른 파 스펙트럼은 Pierson-Moskowitz(P-M)스펙트럼이 가장 기본적이다. 19.5m 높이에서 계측된 풍속 U_19.5를 적용했을 때, 완전히 발달된 파 스펙트럼은 식 (6)과 같이 나타낸다.

여기서 g는 중력가속도, ω는 파의 각진동수이다. U_W와 U_19.5의 관계는 경계층 이론을 적용하여 식 (7)과 같이 계산할 수 있다. 여기서 h_W는 풍속계의 장착 높이이다.

실해역에서는 P-M스펙트럼에서 가정한 바와 달리 시공간적으로 파가 완전히 발달될 여유가 없으므로 Bretschneider나 JONSWAP 스펙트럼을 사용한다. 항로의 다양한 실해역 특성을 반영한 상세한 스펙트럼의 적용은 후속 연구에서 다루도록 하고, 본 연구에서는 P-M 스펙트럼을 적용하여 얻은 결과의 추세를 데이터 기반 모델의 결과와 비교하였다. 부가저항의 계산 과정은 뒤의 대상선박의 사례에서 자세히 다뤘다.

식 (4)의 C_T를 구한 다음, 식 (8)을 이용해 구한 K_T/J²에 대응하는 n을 실선 스케일의 추진기 단독성능곡선으로부터 구하여 V/n을 얻는다. 여기서 K_T, J, t, w는 각각 추력계수, 전진비(J = (1 - w)V/nD), 추력감소비, 반류비이다.

물리적 모델링 과정을 300K VLCC의 공개선형인 KVLCC2의 실험 결과에 적용하였다. 실선의 부가동력 해석에 사용된 자료는 축척비 1/58 모형선의 저항, 자항, 추진기 단독시험자료와 (Hino et al., 2005) 축척비 1/177.8 모형선의 규칙파 중 부가저항 시험 자료이다 (Lee et al., 2021b). 이를 이용해 실선 스케일의 맞바람 조건에서 U_19.5에 따른 V/n을 추정하였다. Table 2와 3은 각각 대상 선형의 실선 스케일의 주요 요목과 저항, 자항 요소이다. KVLCC2는 상부구조물이 설계되지 않았으므로 풍하중 계산을 위한 A_P는 실제 운항 중인 VLCC의 값을 대신 적용하였다.

U_19.5 = 5, 10, 15m/s 조건에서 구한 Pierson-Moskowitz 스펙트럼의 분포와 Lee et al. (2021b)의 V = 10, 15.5knots 조건의 실험에서 구한 부가저항의 QTF(R'(ω)) 결과를 Fig. 5에 나타냈다. R'(ω)는 식 (9)를 통해 계산하였다.

Fig. 5 
Wave spectrum (s) and QTF of added resistance (R') with respect to angular frequency (ω) variation

Fig. 5의 s(ω), R'(ω)결과로부터 식 (10)을 통해 C_add를 계산할 수 있다.

Fig. 6은 U_19.5와 V가 주어졌을 때 C_T의 변화이다. U_W = 10m/s를 넘어가면서 C_T가 급격히 증가하면서 선속에 따른 C_T 차이가 벌어졌다. 이는 실제 저항 크기의 변화보다는 저항계수 계산식에서 분모의 V가 줄어드는 영향으로 파악되었다. U_19.5 = 0m/s의 정수 중 조건에서는 V에 따른 C_T의 변화가 잘 나타나지 않았다.

Fig. 6 
Total resistance coefficient (C_T) of KVLCC2 with respect to wind speed (U_19.5) variation in headwind

식 (8)을 통해 C_T에서 K_T/J²를 얻는다. w, t와 같은 자항요소는 정수 중 자항시험의 값에 1978 ITTC 성능추정법에서 제안된 실선 확장법을 통해 구하였다. Saettone et al.(2021)의 실험 연구에서 큰 파경사각 조건을 제외하면 자항 요소의 변화는 파랑의 영향을 거의 받지 않음을 보인 바 있으므로, 본 연구에서도 자항 요소의 파랑 중 변화는 고려하지 않았다. Fig. 7은 KVLCC2 선형의 실선 스케일 추진기 단독성능곡선에서 정수 중 15.5knots 조건에 대응하는 추진기의 전진비를 찾는 과정이다. 식 (8)과 Table 3의 값을 통해 구한 15.5knots 조건의 K_T/J²는 0.841이고, 이에 대응하는 J는 0.439이다. 이 과정을 통해 V/n = 0.202 knots/RPM를 얻었다.

Fig. 7 
Propeller open water performance and prediction of J at V = 15.5 knots

실해역에서 풍하중이나 부가저항이 발생하면 K_T/J²이 증가하여 이에 대응하는 J는 감소한다. 이에 V/n도 감소할 것으로 보아, U_19.5에 따른 V/n의 변화를 구했다. Fig. 8(a)는 그 결과이다. U_19.5과 V/n의 관계를 다항식으로 근사하기 위해 U_19.5과 Δ(V/n)^1/3을 비교하여 Fig. 8(b)에 나타냈다. Δ(V/n)^1/3은 정수 중의 (V/n)^1/3과 비교했을 때 맞바람 조건의 U_19.5로 인한 Δ(V/n)^1/3의 변화량을 의미한다. 이를 통해 기관 회전수의 변화에 대한 풍속의 영향은 U19.53에 비례하여 표현할 수 있음을 확인하였다.

Fig. 8 
Prediction of V/n of KVLCC2 in head wind: (a) U_19.5 vs V/n and (b) U_19.5 vs Δ(V/n)^1/3

KVLCC2의 맞바람 중 U19.53와 V에 따른 n의 추정 모델을 식 (11)에 나타냈다. 식 (11)의 분모 전체에서 V의 변화의 영향은 U_19.5에 비하면 무시할만한 수준으로 보인다. 따라서 식 (11)의 분모의 V를 Table 3에서 보인 KVLCC2의 설계속도 영역의 중간값인 15.25 knots로 고정하여 식 (12)와 같이 U_19.5에 따른 V/n만을 비교할 수 있게 하였다.

실운항 자료에서 선수파, 맞바람 영역에서 기록된 V/n을 식 (12)의 결정론적 모델 결과와 비교하였다. 식 (4)를 이용한 U_19.5의 계산에서 h_W = 45m이다. Fig. 9에 결정론적 모델과 대상선형의 결과를 나타내었다. 데이터 기반 모델링과 물리적 모델링의 대상 선박과 추진기 특성이 다르기 때문에 V/n을 직접 비교할 수는 없었다. 대신 두 선박의 V/n을 (V/n)_calm에 대한 비율로 무차원화하여 비교하였다.

Fig. 9 
Comparison of V/n with respect to U_19.5 by onboard measurement of operation data, polynomial regression, and deterministic physics-based model. Error bars indicates 95% confidence interval.

식 (12)의 구조를 따라 식 (13)을 제안하고, 실운항 자료를 가장 잘 추총하는 α, β를 구했다. (V/n)_calm를 의미하는 β = 0.245를 얻었다. 이는 앞에서 보인 KVLCC2의 0.202보다 큰 값으로, 같은 선속을 달성하기 위한 기관 회전수가 실운항 VLCC의 경우 더 낮음을 의미한다. 이는 추진기 회전수를 낮추고 지름을 키워 추진 효율을 높이는 선박 설계 경향을 잘 반영한다.

최소자승법 대신 이상치에 대해 더 강건한 최소절대편차법(least absolute deviation method)을 적용해 α = -7.23을 얻었다. 특이하게도 대상 선박의 데이터에서 구한 3차 근사식이 KVLCC2의 물리적 모델과도 거의 차이가 없었다. 하지만 KVLCC2의 경우에서 운항 해역의 특성이 무시된 P-M 스펙트럼을 가정하고 실제 VLCC와 저항추진 특성에 차이가 있었으므로, 두 선박의 데이터의 일치는 여러 불확실성 요소의 결합으로 나타난 우연성이 작용한 것으로 생각된다.

맞바람 조건에서 확인된 U_W과 V/n의 3차식 관계를 다양한 ψ_W 조건으로 확장했다. Fig. 10에서 보인 대로 ψ_W을 5개의 영역으로 나누어 각 영역별로 3차식의 계수를 구했다. 4.1장에서 해석한 맞바람 조건은 1번 영역이며 5번은 뒷바람 조건이다.

Fig. 10 
Definition of wave direction groups

Fig. 11은 ψ_W 영역별로 얻어진 U_19.5, V/n의 분포와 최소절대편차법을 통해 구한 3차 근사식이다. 그 계수와 3차항을 이용한 근사의 정확도는 Table 4에 나타내었다. 파도로 인한 부가저항은 ψ_W에 대한 영향을 덜 받을 것으로 보았고, 맞바람에서 뒷바람으로 진행함에 따라 공기저항은 줄어들기 때문에 전반적으로 α의 크기는 꾸준히 감소할 것으로 기대하였다.

Fig. 11 
Variation of V/n with respect to U_19.5 and ψ_W: solid lines indicate polynomial regression results.

1번 영역에 비해 2번, 3번 영역의 α의 크기가 증가하여 선수사파나 횡파로 발달할 수 있는 풍향에서 부가저항이 더 큰 경향을 보였다. 이는 다양한 입사각에서 부가저항 해석을 수행한 Lee et al. (2024b)의 연구 내용을 통해 설명할 수 있다. 해당 연구에서는 선수사파 중에는 선수파에 비해 부가저항의 공진주파수가 증가하는 경향을 보고한 바 있다. 이를 Fig. 5와 연계하자면 부가저항의 QTF가 2, 3번 영역에서는 더 높은 주파수 쪽으로 이동하여 주어진 파 스펙트럼과 겹치는 영역이 증가하기 때문에 부가저항 또한 증가할 것이라 볼 수 있다. 비슷한 현상이 Uharek and Cura-Hochbaum (2018)의 단파장 중 부가저항 결과와 Mittendorf et al. (2023)의 연구에서도 보고되었으므로, 해상환경에 따른 부가동력이나 연료소모량 모델링에서는 선수사파에서의 부가저항 증가를 정확히 다뤄야 할 것으로 보인다. 추가로, 횡파조건인 3번 영역은 1번 영역에 비해 방향타의 작동 소요가 더 많을 것이므로 추가적인 저항의 증가가 반영된 것으로 보인다.

4, 5번 영역에서는 기대한대로 U_W에 따른 V/n의 변화가 줄어들었기 때문에 뒷바람의 영향으로 추가적인 추력의 영향을 확인할 수 있었다. 그리고 어느 정도 뒷바람을 받는 4번 영역에서는 U_W의 증가에서 V/n의 감소가 나타났으므로 해상환경에서는 풍향의 영향보다는 모든 방향에 걸친 파도로 인한 부가저항이 더 지배적인 것으로 판단된다.

4.2장에서 구한 해상환경에 따른 부가동력 모델을 2장 내용과 연계해 연료소모량 추정 모델으로 확장하였다. 추정 모델에서는 실제 계측 풍속과 풍향인 U_W, ψ_W를 사용할 수 없으므로 기상정보의 U_I, ψ_I를 대신 사용하였다. 실운항 정보에서 U_W와 U_I의 상호상관도는 0.741였다. 그리고 기상정보의 풍속 계측 기준높이는 10m임을 이용해 U_19.5를 구했다. 이렇게 준비된 실운항 자료로 식 (13)을 구성하는 α, β를 구했다. 그 결과는 Table 5와 같다. U_W를 이용할때보다 α의 크기가 커졌는데, 이는 Fig. 3에서도 확인할 수 있듯 전반적으로 U_W이 U_I보다 크게 얻어졌기 때문이다.

Fig. 2(a)에서 기관 출력은 n³에 비례함을 확인하였으므로, Table 5의 계수를 이용해 구한 n으로부터 P/P_MCR를 추정할 수 있다. 이렇게 U_W, U_I에 대해 얻은 P/P_MCR의 추정값과 실운항 자료를 비교하였다. Fig. 12(a)는 그 결과로, 모델링의 정확도(A_P)를 식 (14)와 같이 정의하여 나타냈다. 이는 절대편차의 평균에 대해 실운항 자료의 95% 영역 범위인 ±2σ로 나눈 값이다. 세로축의 추정값에서 40% 이하의 P/P_MCR값이 나타나지 않은 것은 비교 대상 데이터가 12knots 이상의 선속만을 취했으므로 동력 추정의 하한선이 발생하였기 때문이다.

Fig. 12 
Comparison of data-driven model using U_I and U_W: (a) engine load (P/P_MCR), (b) shaft power (P_S), and (c) fuel oil flow rate (M).

U_W를 이용한 모델에서 국부적으로 나타난 동력 관련 변수가 증가하는 경향이 U_I에서는 줄어들었다. 이는 선상에서 계측된 U_W은 마스트와의 간섭이나 계측 시스템 자체의 정확도 한계로 인해 U_I에 비해 일관성이 부족한 결과를 내기 때문으로 보인다. 따라서 U_I를 데이터 기반 모델의 입력으로 활용하는 것이 더 나은 방법으로 생각되며, 이는 예측 모델의 목적에도 부합한다.

n에서 Fig. 2의 관계를 이용해 P_S, M을 추정한 결과를 각각 Fig. 12(b), (c)에 나타냈다. 정확도는 앞의 P/P_MCR과 큰 차이는 없었으므로, P/P_MCR, P_S, M의 순차적인 추정 과정에서 오차의 전파는 별 영향이 없는 것으로 판단되었다. 각 변수의 정확도는 10% 내외로 얻어졌다. 따라서 3장에서 다룬 해상환경 변수에 따른 V/n 추정 모델이 그 이후의 과정에 비해 연료 소모량 추정에 더 큰 영향을 주는 것으로 생각된다.