Fig. 1은 본 연구에서 사용된 좌표계의 구성이다. 선체 운동의 궤적은 지구고정좌표계(O - ξηζ)를 이용하여 표현하였다. 이는 정속 항주 중 조종 시나리오가 시작되는 시점의 선체의 무게중심의 수평면 상 위치를 원점(O)으로 하여, 같은 시점의 선수방향(ξ), 우현(η), 하방(ζ)으로 정의된다.

Fig. 1 
Earth-fixed coordinate system(O - ξηζ) and horizontal ship-fixed coordinate system (o - xyz)

선박의 조종 운동은 전후동요, 좌우동요, 횡동요, 선수동요의 4자유도 운동으로 이뤄지고, 이는 Hamamoto and Kim (1993)에 의해 제안된 좌표계인 수평면 물체고정좌표계(o - xyz) 상에서 표현되었다. 여기서는 선체고정좌표계가 횡동요를 따라 회전하지 않으므로 x, y축은 각각 수평면상에서 선체의 길이방향, 우현방향의 투영으로 정의된다. z축은 수면에 대한 연직 하방으로 정하여 오른손 좌표계를 구성하였다.

좌표계의 원점(o)은 선체의 수선면, 종중심면, 중앙횡단면의 교점으로, 병진 운동 속도는 (u, v_m, 0), 회전 운동 속도는 (p, 0, r)로 정의하였다. v_m은 좌표계 원점의 y방향 운동 속도로, 무게중심 위치의 좌우동요 속도(v), 선체의 선수동요 각속도(r)와 횡경사의 시간변화율(ϕ˙)로 인한 회전을 고려해 식 (1)과 같이 계산한다. 4자유도 운동의 선형화된 오일러 각(Euler angle)에서 ϕ˙ = p로 가정할 수 있다.

그리고 4자유도 운동방정식은 식 (2)와 같이 나타낸다.

여기서 X, Y는 각각 x, y방향 힘의 합력, K와 N은 각각 x, z방향 모멘트의 합력이다. m, I_xx, I_zz는 각각 모형선의 질량과 x, z 축 방향의 관성모멘트이다. 관성모멘트는 무게중심이 아니라 좌표계 원점 기준으로 계산되므로 평행축정리(parallel-axis theorem)가 적용되었다. m_x, m_y, J_xx, J_zz는 각 방향의부가질량과 부가관성모멘트로, Okuda et al. (2023)의 연구를 따라같은 값을 적용하였다. α_z는 부가질량으로 인한 힘이 가해지는z방향 위치로, Yasukawa et al. (2019)에서는 흘수(d)의 28.5%를 제안하였다.

본 연구에서 사용한 선형은 KRISO Container Ship(KCS)이다. 해당 선형의 조종 성능 관련 연구는 모형시험과 전산유체역학 해석을 포함한 다양한 방법으로 이뤄졌다.

Okuda et al. (2023)의 연구에서는 KCS 선형의 4자유도 조종 운동 모델을 제안하고 이를 다양한 선속의 자유항주 모형시험과 비교하여 검증한 바가 있어, 본 연구에서는 이 운동 모델을 사용하였다. 운동 모델의 구성에 대한 자세한 내용은 같은 조종 모델을 이용한 연구인 Kim et al. (2024)에서 확인할 수 있다. Table 1은 대상 선박의 주요 요목, Fig. 2는 대상 선박의 형상이다.

Fig. 2 
Body plan of KCS

조종 운동 모델은 선체, 추진기, 방향타의 유체력을 나누어 식 (3)과 같이 구성된다. 우변에서 아래첨자의 H, P, R은 각각 힘과 모멘트에서 선체, 추진기, 방향타 성분을 의미한다.

조종 운동의 해석 과정에서 차원을 갖는 선체 유체력과 모멘트 X_H, Y_H, N_H는 무차원화된 좌우동요 속도(v'_m = v_m/U)와 선수동요 각속도(r' = rL/U), ϕ에 대한 함수로 얻어지는 무차원회된 유체력과 모멘트 X'_H, Y'_H, N'_H에 차원을 적용하여 구한다. 여기서 R₀는 직진 중 선체 저항, U는 x, y 방향 속도인 u, v의 벡터합의 크기이다.

추진기의 유체력(X_P)은 Okuda et al. (2023)의 연구와 달리 일반적으로 KCS 선형을 위해 사용되는 KP505 추진기를 이용하였다. KP505의 추력 모델은 식 (5)와 같다.

여기서 n과 J_A는 각각 추진기 회전수와 추진기의 전진비이다. k0+k1JA+k2JA2는 추진기의 성능곡선에서 추력을 J_A의 2차함수로 근사한 결과로, KP505 추진기의 k₀, k₁, k₂는 각각 0.485, -0.388, -0.116 이다.

선박의 조종 운동 문제에서 제어 가능한 입력은 추진기의 회전수(n)와 방향타각(δ)이다. 본 연구에서 다루는 조종 시나리오는 δ의 변화로 인한 운동 양상의 파악에 집중하여 설계하였다. Fig. 3에 조종 시나리오 결정의 순서도를 보였다.

Fig. 3 
Flow chart of the random maneuver scenario

δ를 –40°에서 40°까지 5° 단위로 나누어 17개 조건 중 선택한다. 선택된 δ에 대해 선수각 변화(Δψ)를 δ의 50%에서 300%까지 50% 단위로 나누어 6개 조건 중 선택한다. 이는 이전 연구들에서 Δψ 대신 타각을 유지하는 시간을 변화한 데에 비해, 작은 δ에서 운동이 정속 선회로 편중되는 경향을 피할 수 있다. 그리고 δ이 0°로 선택되면 Δψ를 선택하는 대신 선속이 초기 선속(U₀)으로 회복될 때까지 n을 초기 회전수(n_P)의 120%로 올려 가속한 뒤 다시 n을 n_P로 낮추도록 하였다.

선택된 제어 단위가 실행되었다면 현재 운동 상태를 초기 조건으로 하여 다음 제어 단위를 선택하여 조종 시나리오를 연달아 수행하였다. 시나리오 수행 시간(T)은 1000초로 정하였는데, 이는 CFD 해석과 모형시험을 통한 자유항주 시험 연구 경험을 바탕으로 도출한 현실적으로 달성할 수 있는 수준에서 최장의 시험 수행 시간이다.

Fig. 4는 무작위 조종 시나리오를 수행해 얻은 ξ-η 평면 상의 조종 궤적, v'-r'과 v'-ϕ 분포의 예시이다. 운동 상태 변수에 대해서는 통상적인 35° 정속 선회 시험과 10°/10°, 20°/20° 지그재그 조종 시험의 값도 함께 표시하였다. IMO 조종 성능 시험에 비해 무작위 조종 시나리오에서 횡동요와 선수동요의 관계가 더 다양하게 나타나는 것을 알 수 있다.

Fig. 4 
Example of the random maneuver scenario and comparison with IMO maneuverability tests : (a) trajectory and (b) distribution of sway and yaw motion, (c) distribution of roll and yaw motion

몬테카를로(Monte Carlo) 시뮬레이션은 주어진 시스템에서 확률 분포에 따라 무작위로 생성된 입력에 대응하는 결과를 반복하여 얻은 결과의 통계적 특성을 해석하기 위한 기법이다. 본 연구에서는 무작위 조종 시나리오의 반복을 통해 선박의 동역학적 변수의 분포와 상호관계가 어떤 값으로 수렴하는지를 확인하는데 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하였다.

한 번의 조종 시나리오 시행을 통해 얻어진 데이터(x=x1,⋯,x6)를 구성하는 변수 x_i의 시계열은 식 (6)과 같이 시간평균(x-i)과 요동성분(x~it)의 합으로 나눌 수 있다.

무작위 조종 시나리오에서 다룰 x를 구성하는 주요 동역학 변수들은 [v_m', r', ϕ, K_H', Y_H', N_H']로, 각 변수간에 기함수의 관계를 가진다. 따라서 한 번의 무작위 조종 시나리오에서 충분히 많은 제어 단위가 선택되었다면 좌우현의 선회 비율은 거의 같아져서 x-i는 0으로 수렴할 것으로 기대하였다. 그리고 두 변수의 요동성분 x~i, x~j에 대해 식 (7)을 이용해 공분산(Cx~i,x~j)을 계산할 수 있다.

여기서 Ex~ix~j, Ex~i, Ex~j는 조종 시나리오에서 변수 x~ix~j, x~i, x~j의 기댓값으로, 해당 데이터의 시간 평균으로 보아 Ex~i, Ex~j는 0으로 간주하였다.

무작위 조종 시나리오의 수행 횟수(ν)를 증가시킴에 따라 조종 운동에서 얻어지는 동역학적 변수의 분포는 수렴할 것으로 예상하였다. 여기서 ν는 Student t 분포의 자유도(degree of freedom)로 볼 수 있다. ν을 5에서 5000까지 증가시켜 가며 Cv~',v~', Cr~',r~', Cv~',r~'의 추세를 확인하고, 그 결과로 얻어진 ν에 따른 각 공분산의 평균값(C-)과 95% 신뢰구간(t95,ν-1σ/ν)을 Fig. 5에 나타내었다. 반복 수행에 따라 각 변수의 공분산들이 수렴하는 것을 확인하였고, ν = 3000에서는 모든 공분산에 대해 95% 신뢰구간은 C- 크기의 1% 이내로 나타났으므로, 이를 최종적인 공분산의 수렴값으로 보았다.

Fig. 5 
Convergence of C¯v~',v~', C¯v~',r~', C¯r~',r~' with respect to the degree of freedom: Error bar means 95% confidence level for the population mean

앞에서 수행한 추정 과정을 주요한 동역학 변수 전체의 공분산에 적용하였다. 그리고 식 (8)을 이용해 정규화하여 피어슨 상관계수(Pearson correlation coefficient)를 구하면 상관계수 a_ij를 원소로 갖는 상관행렬(correlation matrix) A이 된다. 그 결과는 Fig. 6과 같다.

Fig. 6 
Converged correlation matrix (A) of random maneuver scenarios and Cx~i,x~i of variables

2장에서 구한 상관행렬(A)을 한 번의 조종 시나리오로 얼마나 구현할 수 있는지를 판별하는 것이 본 연구에서 다룰 조종 시나리오의 유사성 해석의 기본 내용이 된다. 2.4장에서 구한 수렴된 조종 운동에 대한 6 × 6 상관행렬 A의 고유벡터(e^i)와 고유값(λ_ii)을 알면 고유값 분해를 통해 A를 식 (9)와 같이 표현할 수 있다.

여기서 P는 e^1에서 e^6까지 6개의 고유벡터들을 열벡터(column vector)로 갖는 6 × 6 행렬이고, 대각행렬 Λ는 고유값 λ_ii만을 대각성분의 원소로 갖는 6 × 6 행렬이다. 행렬 A가 A^T = A를 만족하는 대칭행렬이므로, 행렬 P는 전치행렬(P^T)이 역행렬(A^-1)과 같은 직교행렬(orthogonal matrix)이 된다. 따라서 A는 식 (10)으로부터 다음과 같이 표현할 수 있다.

Kim et al. (2024)의 연구에서는 공분산 행렬의 고유벡터가 선박 조종 운동의 주요한 동역학적 특성을 반영하고 고유값을 해당 동역학적 특성의 크기임을 보였는데, 본 연구에서도 같은 방식으로 수렴된 조종 운동의 동역학적 특성을 설명하고자 한다. Fig. 7은 A에서 구한 λ_iie^i이고, 각 동역학 변수에 대해 지배적인 순으로 색상에 차등을 두어 표시하였다.

Fig. 7 
Eigen vector (λ_iie^i) and Eigen value (λ_ii) of converged correlation matrix (A)

첫 번째 주성분 벡터에서는 모든 동역학적 변수가 비슷한 크기를 보이는 성분이 확인되었다. 이는 선회 과정에서의 운동 특성이 모든 성분에 대해 고르게 나타남을 의미하여, Fig. 6의 각 변수 간 상관계수가 크게 나타났던 점을 설명한다.

두 번째 벡터는 다른 운동 성분은 거의 발생하지 않으면서 횡동요가 가장 크게 식별되었기 때문에, 고유 횡동요 주기에 관련한 운동 성분을 설명하는 것으로 보인다. 그리고 이 고유 횡동요 운동은 선수동요 모멘트에 영향을 주는 것을 알 수 있다. 세 번째와 네 번째 모드는 Kim et al. (2024)의 연구에서 방향타 전환을 통한 운동의 천이 구간에서 발달하는 것임을 보인 바 있다.

수렴된 조종 운동과 다른 조종 시나리오의 동역학 변수 분포의 유사도를 고유값 분해를 통해 구하려 한다. 조종 시나리오를 수행해 얻은 동역학 변수의 요동성분을 y~i라 하고, 식 (11)을 이용해 b_ij를 원소로 갖는 상관행렬 B를 구한다.

여기서 분모 항은 대상 조종 시나리오가 아니라 수렴된 조종 운동에서 구한 Cx~i,x~i을 이용하여 정규화하였다. B의 대각 성분의 크기가 1에 가깝다면 제안된 조종 시나리오의 동역학적 변수의 분포 범위가 수렴된 조종 운동과 유사하다는 의미이다.

식 (10)에서 A 대신 B를 대입하면 P를 이용하여 B의 유사행렬 Σ을 구하는데 대한 식 (12)를 얻는다.

B를 구하기 위한 조종 시나리오에서 나타나는 동역학적 특성이 수렴된 조종 운동과 같다면, Σ는 대각행렬이 된다. 그리고 두 조종 시나리오에서 구현하는 동역학적 특성이 서로 다르다면 Σ의 요소에서 대각 성분의 비중이 줄어들 것이다. 이에 착안하여 운동 특성의 유사성(S)을 Σ의 모든 요소의 합에 대한 대각 성분(σ_ii) 합의 비로 정의하였다.

고유벡터를 이용한 동역학적 특성의 유사성에 대해 좀 더 설명하고자 한다. A에 대한 대각화를 보인 식 (10)과 같이 B를 고유벡터를 이용해 대각화하여 식 (14)를 얻을 수 있다.

이 식을 식 (12)에 대입하면 식 (15)를 얻는다.

이로부터 식 (15)는 대각행렬 M을 P^TQ를 이용해 유사행렬 Σ로 변환하는 과정임을 알 수 있다. P^TQ는 A, B의 고유벡터 간의 내적 결과로 구성된 행렬이다. 각 행렬의 고유벡터가 운동 시나리오에서 나타나는 주요한 동역학적 특성을 의미하므로, A와 B가 다루는 동역학적 특성이 같다면 두 행렬의 고유벡터 세트는 동일할 것이다. 따라서 P^TQ는 단위행렬이 되어야 하고, Σ는 M과 같은 대각행렬이 되어 S가 증가한다. 그리고 두 조종 시나리오에서 구현하는 동역학적 특성이 서로 다르다면 Σ의 요소에서 대각 성분의 비중이 줄어들 것이므로, 식 (13)의 S도 작아진다. 따라서 S가 두 조종 시나리오의 동역학적 유사성을 정량화하는 기준으로 사용할 수 있음을 알 수 있다.

3장에서 제안된 방법을 이용해 IMO 조종 성능 시험과 본 연구에서 제안된 무작위 조종 시나리오를 비교하였다. IMO 조종성능 시험은 35° 정속 선회, 10°/10°, 20°/20° 지그재그 조종 시험을 대상으로 하였다. 각 조종 시험은 좌우현에 대해 수행한 결과를 합하여 B를 구하고 주성분 분석을 수행하였다.

우선 각 조종 시나리오에 대해, FIg. 4에서 보인 운동 변수간의 피어슨 상관계수를 구하여 Table 2에 나타내었다. 정속 선회의 경우 선회 중에 고유 횡동요 주기의 운동이 발생하므로, ϕ에 대한 운동의 연성이 작게 얻어졌다. 이는 대상 선형인 KCS가 특히 작은 GM을 가져 횡동요가 쉽게 발생하는 탓으로 생각된다. 지그재그 조종 시험은 고유 주기의 횡동요가 발생하기 이전에 선수동요가 발생하므로 ϕ가 r'과 강한 연성을 보였다. 좌우동요와 선수동요에 대해서는 전체적으로 아주 강한 상호상관도를 보였다.

Fig. 8은 각 조종 시나리오의 λ_iie^i이다. 각 동역학 변수에 대해 지배적인 순으로 색상에 차등을 두어 표시하였다. Fig. 7의 수렴된 조종 운동의 결과와 비교하여 주성분의 구성이나 대응하는 고유값의 크기로부터 각 조종 시나리오의 동역학적 특성을 판별할 수 있다. 지그재그 조종 시나리오의 경우 첫 번째 주성분에서 N_H'가 작게 나타났다. 선박의 선회 초기에는 N'이 N_R'의 영향을 크게 받다가 사항각이 커지는 시점에서 선체의 뭉크 모멘트(Munk moment)로 인한 N_H'가 조종 운동을 지배하게 되는데, 지그재그 조종에서는 이 시점 이전의 조종 운동만을 얻기 때문으로 보인다. 지그재그 조종에서 얻은 두 번째 주성분은 v'과 ϕ의 부호가 첫 번째 주성분과 반대로 나타나는 것으로 보아, 선체 자체의 선회 중 모멘트보다는 선회 운동 초기의 방향타력으로 인해 선체가 회전 안쪽으로 기우는 과정에 관계된 것으로 보인다. 두 번째 주성분은 수렴된 조종 운동과 달리 횡동요가 지배적이지는 않았다.

Fig. 8 
Eigen vector (λ_iie^i) and Eigen value (λ_ii) of correlation matrix (B) of IMO maneuverability tests

정속 선회 시험과 수렴된 조종 운동의 비교에서는 전체적으로 유사한 결과를 얻었다. 하지만 첫 번째 주성분에 대한 두 번째 주성분 비율이 정속 선회에서 더 크게 얻어졌다. 따라서 정속 선회 중에는 고유 횡동요 운동이 계속해서 발달하며, 반대로 지그재그 조종에서 잦은 방향타 작동은 횡동요의 발생을 억제한다고 볼 수 있다. 그리고 정속 선회 중에는 세 번째와 네 번째 주성분의 비중이 줄어들었는데, 이는 수렴된 조종 운동에 비해 운동의 천이영역 비율이 작기 때문이다.

일반적으로 세 조종 운동의 결과를 종합해 조종 운동 모델을 개발해왔기 때문에, 이 상호상관 행렬이 Fig. 7의 수렴된 조종 운동 결과와 얼마나 유사한지를 파악할 필요가 있다. 세 조종 시나리오에서 얻은 조종 운동의 총합에서는 지그재그 조종 운동의 영향으로 첫 번째 주성분의 비중이 줄어들면서 상대적으로 정속 선회 시험의 고유 횡동요 운동에 연관된 두 번째 주성분의 비중이 증가하였다. 따라서 기존의 IMO 조종 시나리오에 기반한 선박 조종 운동 모델의 개발은 선박의 고유 횡동요 운동을 과도하게 추정할 가능성이 있다.

앞에서 제안된 조종 시나리오에 대해 식 (13)을 통해 구한 S를 Table 3에 나타내었다. 비교를 위해 T = 1,000s의 무작위 조종 시나리오를 수행한 경우의 평균적인 S 값도 함께 표시하였다.

IMO 조종 성능 시험의 경우 좌선회와 우선회의 시간을 합하여 T를 구하였다. 운동의 유사도에 대해서는 세 조종 운동을 종합한 결과가 가장 나은 결과를 보였으며, 그 값은 71.6%였다. k가 증가함에 따른 유사도의 변화는 눈에 띄지 않았으며, IMO 조종 시험의 종합 결과가 짧은 시험 시간에 비해 동역학적 특성의 구현이 뛰어난 것을 알 수 있다.

무작위 조종 시나리오의 수행 시간을 변화시켜가며 유사도의 변화를 확인하였다. 이를 통해 자유항주 모형시험이나 CFD 해석에서 목표로 하는 유사도 수준을 달성하기 위해 무작위 조종 시나리오를 얼마 동안 수행해야 하는지를 알 수 있다.

Table 3에서 다룬 대로, T = 1,000s의 무작위 조종 시나리오를 수행한 경우 평균적으로 85.3%의 유사도를 얻었다. 추가로T를 변화시켜 가며 유사도의 증감을 확인하였다. Fig. 9는 그 결과로, Table 3의 IMO 조종 성능 시험의 결과도 함께 표시하였다.

Fig. 9 
Comparison of similarity of dynamic features (S) of maneuver test scenarios and model test duration (T): error bar indicates 95% confidence interval.

시나리오의 수행 시간이 증가함에 따라 유사도는 증가하였으나, T에 대해 로그 스케일을 보였으므로 효용은 감소하는 것을 알 수 있다. T = 10,000s에서 확인한 유사도는 91.6%이다. 앞서 2.4장에서 구한 수렴된 조종 운동이 T = 1,000s 시험을 3,000회 반복 수행에서 얻은 결과이므로, 이는 사실상 T = 3,000,000s의 시험 결과에 대응한다고 볼 수 있다. 따라서 T = 10,000s의 시험 결과도 완전히 수렴된 운동을 얻기에 충분히 긴 시간이라고 보기는 어렵다.

IMO 조종 성능 시험 중 지그재그 시험은 본 연구에서 제안된 무작위 조종 시나리오보다 낮은 유사도를 보였다. 정속 선회나 IMO 조종 성능 시험의 총합은 시험 수행 시간에 대한 유사도의 추세가 무작위 조종 운동과 유사하게 얻어졌다. 다만 이 유사도는 전체 운동에서 어느 정도의 유사성을 갖는지의 비율을 판단하는 기준이므로, 정속 선회 시험의 결과가 같은 시간 동안 수행한 무작위 조종 운동 시나리오와 같은 동역학적 특성을 갖는다는 해석을 할 수는 없다. 각 조종 시나리오의 동역학적 특성은 4.1장에서 보인 고유 벡터 자체의 분석을 통해 수행되어야 할 것이다.