간이물리모델을 이용한 원통형 압력용기의 내파해석

2.1 원통 실린더 변형의 단계별 특성

정수압에 의한 내파 발생 시, 원통형 실린더의 붕괴 과정을 Fig. 2에 정리하였다. 동반되는 충격압력파의 시계열 특성은 Fig. 10에 보였다.

Fig. 2.

Deformation of circular cylinder pressure field during implosion(Krueger, 2006)

1) 외부의 정수압이 실린더의 임계 압력에 도달하면 압축 좌굴이 발생하여 붕괴가 시작된다(Fig. 2 a.). 변형이 진행됨에 따라 유체 영역의 체적이 상대적으로 증가되므로 압력 강하가 수반되며 이 붕괴 과정이 불안정하게 급속히 이루어지므로 주위 정수압 보다 낮은 음(-)의 충격파가 발생된다.

2) 변형이 진행되어 실린더 상하면이 접촉하는 순간 압력 spike가 발생된다(Fig. 2 b.).

3) 실린더의 붕괴가 계속 진행하면서 실린더 및 주위 유체의 운동에너지는 충격파 에너지로 변환되어 인접 유체장으로 전파되며 순간적으로 peak 치에 도달한다(Fig. 2 c.).

4) 최대치에 도달한 압력파는 이후 변형이 완료될 때까지 서서히 감소되어 다시 정수압으로 안정화된다(Fig. 2 d.).

2.2 내파 발생 시 에너지 변환

외압을 받는 잠수체의 붕괴 시 발생되는 외력(수압)의 총 에너지 $$ E_{ext}$$는 수압이 한 일($$ W$$)과 동일하며 이는 구조물 자체 및 주위 유체의 급격한 운동을 유발한다. 이 내파 에너지는 다음과 같이 크게 3 가지 형태로 소산된다.

1) 잠수체의 소성변형 에너지 $$ E_{int}$$로 소산되며 굽힘(bending) 변형 성분 $$ E_b$$ 및 막(membrane) 변형 성분 $$ E_m$$으로 나눌 수 있다. 구조물의 기하학적 형상에 따라 달라지지만 대체로 총 소산 에너지의 80% 이상으로 추정되는 가장 큰 항목이다.

2) 변형 과정에서 잠수체가 압착되므로 내부 기체를 압축시키기 위한 에너지($$ E_{air}$$)가 필요하다. 비중은 그다지 크지 않다.

3) 동적 에너지($$ KE$$)로서 구조체 및 주위 유체의 운동에너지를 말한다. 실린더 상하면이 접촉하는 변형의 마지막 단계에서 모든 운동이 급격히 정지함에 따라 충격파 에너지($$ E_{dyn}$$)로 변환된다.

3.1 간이 물리 모델

내파 과정의 에너지 보존 법칙을 정식화하고 발생되는 충격파 에너지를 추정하기 위해서 먼저 원통형 압력 용기의 붕괴 모드를 간단한 형상으로 이상화할 수 있는 간이 물리 모델을 도입할 필요가 있다.

외압을 받는 원통형 실린더의 붕괴모드는 단면의 직경과 길이 비에 따라 달라지며(Nho et al., 2017), 붕괴 시 생성되는 단면 내 소성 관절(plastic hinge)의 수는 Fig. 3에서 보는 바와 같이 붕괴 모드에 따라 결정된다. 간이 붕괴 모델은 이미 많은 연구자들에 의해 다양한 분야에서 활용되었으며, Gish(2013)는 해석의 간편성을 감안하여 붕괴 과정에서 소성 관절이 4 지점에서 발생되는 모드 2를 이상화할 수 있는 간이 물리 모델을 도입하여 내파과정의 정식화에 적용한 바 있다.

Fig. 3.

Plastic hinges in circular cylinder section(Gish, 2013)

Fig. 4(a)에 보인 이 모델은 단면에서 발생되는 소성 관절의 위치가 변형이 진전되는 과정에서도 변화되지 않기 때문에 흔히 SHM(Stationary Hinge Model) 이라고 부른다. 단면의 변형을 중앙점의 처짐 $$ w_c$$ 만으로 표시할 수 있고 길이 방향 변형 역시 중앙 단면 형상을 중심으로 선형적으로 나타내기 때문에 전체 실린더의 변형을 1-자유도($$ w_c$$) 문제로 간단하게 이상화하여 정식화를 간단하게 처리할 수 있다는 장점이 있다.

Fig. 4.

Simplified kinematic models for circular cylinder

본 연구에서는 Gish의 간이 모델을 확장하여 Lobe 수가 3이상인 임의의 고차 붕괴모드에 적용할 수 있는 Fig. 4(b)와 같은 간이 모델을 개발하여 정식화를 진행하였다. 이 모델 역시 SHM을 기반으로 하고 있으며 실린더 길이 방향 변형은 Fig. 4(c,d)처럼 선형적으로 가정한다.

3.2 정밀해석에 의한 간이 모델의 검증

원통형 실린더의 붕괴 모드를 표현하는 SHM 간이 모델의 변위 가정에 대한 타당성을 검증하기 위하여 모든 붕괴모드를 일반화하여 설명하기는 어렵지만 우선 L/D가 큰 실린더에서 나타나는 가장 단순한 형상의 붕괴모드 2 (Lobe 2)에 대한 예를 살펴보기로 한다.

점진적 붕괴 시 구조물의 변형은 Fig. 5와 같은 3 단계의 붕괴 과정을 거친다. 상용 code인 ABAQUS에 의한 대변형 유한요소해석으로 중앙 단면의 상하면이 서로 접촉할 때까지 즉, Phase 1에서의 변형 과정을 얻고 이를 이상화 간이 모델의 변형 형상과 단계별로 비교하였다. Fig. 6에서 보듯이 대체로 SHM 기법에 의한 단면 및 측면에서 본 길이 방향의 변형 형상이 정밀 유한요소해석 결과와 크게 다르지 않음을 확인하였다.

Fig. 5.

Phases of mode 2 (Gish & Wierzbicki, 2015)

Fig. 6.

Progressive deformed shapes of SHM and FEA

LeBlanc et al.(2014)는 실린더의 붕괴 실험에서 중앙 단면의 상 하면이 서로 접촉하기 시작하는 phase 1의 마지막 시점 부근에서 충격파가 발생됨을 보였고, Gish(2013) 역시 이 시점에서 실린더의 동적 에너지 크기가 최대가 됨을 보인 바 있다. 본 연구에서도 ABAQUS에 의한 정밀 해석을 통하여 동일한 결과를 확인하였기 때문에 내파 에너지의 추정을 위한 정식화 과정은 SHM 간이 모델을 이용하여 phase 1 단계까지 만 고려하기로 한다.

4.1 내파 과정의 에너지 보존

내파에 의한 충격파 에너지의 크기를 직접적으로 구하는 것은 쉽지 않기 때문에 본 연구에서는 여러 가지 내파 에너지 성분들을 정량적으로 구한 다음, 에너지 보존 원리에 기반하여 충격파 에너지로 변환 가능한 유체 및 구조물의 동적 에너지 성분을 역으로 추정하는 과정을 적용한다.

2.2절에서 언급한 바와 같이 내파 과정에서 발생되는 외력(수압)의 총 에너지 $$ E_{ext}$$는 수압이 한 일 $$ W$$ 와 동일한 것으로 간주할 수 있으며, 원통 실린더의 붕괴 과정에서 많은 부분은 소성 변형에너지로, 또 일부는 실린더 내부 기체의 압축 에너지로 시용된다. 나머지는 구조물 자체의 동적 에너지 또는 주위 유체 유동을 발생시키는데 필요한 동적 에너지로 전환된다.

실린더의 변형이 진행되어 최종 단계에 도달하면 실린더의 상 하 면이 서로 완전히 밀착됨으로써(Fig. 5(c)의 phase 3) 모든 운동이 정지 상태에 도달하므로 결국 이 구조와 유체의 동적 에너지는 충격파로 변환되는 것으로 간주할 수 있다.

따라서 구조물의 붕괴 과정에서 수압이 한 일 $$ W$$ 즉, 총 에너지 $$ E_{ext}$$는 실린더 자체의 내부 에너지뿐만 아니라 내부 기체의 압축 에너지 $$ E_{air}$$와 구조물 주위의 동적에너지 $$ KE(=E_{dyn})$$로 구성되는 것을 생각할 수 있으므로 가상 일률의 원리(Principle of virtual velocity)에 의해 다음과 같이 정리할 수 있다.

이 때, 각 성분들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

만일 소성관절이 발생되어 그 위치에 소성변형이 집중된다면, 막 및 굽힘 변형 에너지 성분 $$ E_m$$, $$ E_b$$는 다음 (5)식과 같이 더욱 간단한 식으로 쓸 수 있다. 이 식에서 $$ i$$는 소성 관절 수이다.

여기서
$$ R$$: Radius of cylinder section, $$ L$$: Half length of cylinder,
$$ M_0=\frac{t^2}{4}{\sigma }_0$$ : Fully plastic bending moment per unit length,
$$ N_0={\sigma }_{0}t$$ : Fully plastic membrane force per unit length,
$$ {\sigma }_0$$: Flow(yield) stress of material,
$$ t$$: Thickness of cylinder

4.2 간이 물리 모델의 기하학

원통형 구조물이 Fig. 4(a)와 같은 기본 붕괴 모드가 아닌 고차모드(lobe>2)로 붕괴된다고 가정하고 SHM 모델을 적용하면, Fig. 4(b)에서 보인 초기 원호 BC의 최종 형상 B‘C’은 Fig. 7처럼 나타낼 수 있다. 이때 원통을 구성하고 있는 각 원호의 곡률은 변화하지 않고 원래 형상을 그대로 유지하되, 경계면에서만 소성 관절이 발생되어 여기에 굽힘 변형이 집중되는 것으로 간주한다.

Fig. 7.

Kinematics of deformed arc segment BC in higher collapse modes

4.3 에너지 성분의 간이 계산법

본 연구에서는 이 원호 요소 BC가 B‘C’으로 변형되는 과정을 고찰하여 각 에너지 성분들을 유도하였다.

먼저 압력에 의한 외부에너지를 다음 식에 의해 구한다.

Fig. 7에 도시된 변형의 기하학을 이용하여 원호 OBC의 실린더 길이 방향 단면적 분포$$ A\left(x\right)$$를 유일한 독립변수인 중앙 단면의 소성관절 변형량 $$ w_c$$의 함수로 나타낼 수 있고, 변형과정에서 전체 실린더의 체적 $$ V$$는 변형이 길이 방향으로 선형적으로 변화한다는 Fig. 4의 변위 가정을 적용하면 다음과 같이 얻어진다.

(7)식을 이용하면 (6)식의 총에너지 $$\begin{gathered} E_{ext} \\ \end{gathered}$$를 구할 수 있고, 실린더 내부 기체의 압축에너지 $$\begin{gathered} E_{air} \\ \end{gathered}$$는 다음과 같이 정의되므로 유사한 방법으로 정리할 수 있다.

여기서, $$ n$$은 좌굴 모드 차수(lobe 수), $$ P_i$$ 는 내부가스(공기) 압력이며, $$ P_{i0}$$는 의 초기값 즉 대기압으로 간주된다. $$ V$$, $$ V_0$$는 각각 내부 가스의 체적 및 초기 값을 의미한다. $$ \gamma $$는 공기의 비열(specific heat)이다. 다음 단계로 구조의 소성변형에너지 $$ E_{int}$$를 구한다. 먼저 (4)식에 따라 막 에너지를 구한다. Fig. 4와 같은 변위 가정에 따르면, 길이 방향 변형도는 다음 식으로 표시 가능한데, 여기서 $$ \delta $$는 변형 전 원호 상의 임의 점 $$ P(x,y)$$가 $$ P\text{'}(x\text{'},y\text{'})$$으로 이동한 거리를 의미한다.

Fig. 7의 변형의 기하학에 따라 실린더 표면 상 임의 점의 최종 이동 거리를 구할 수 있고, 이를 이용하면 막 변형 에너지 변화율은 결국 다음과 같이 얻어진다.

또한 소성 관절에서 소산되는 실린더의 굽힘 변형 에너지 변화율은 (5)식으로부터 다음과 같이 유도된다.

만일 원환 보강재가 추가로 부착된다면 총 굽힘 변형 에너지 변화율은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이 때 원환 보강재는 실린더와 동일한 모드로 붕괴하는 것으로 가정하였다.

여기서,
$$ {\alpha }_c$$ : $$ \alpha $$ at mid-section $$ x=L$$ (Fig. 4)
$$ {\alpha }_s^i$$ : $$ \alpha $$ at i-th ring stiffener $$ x=x_s^i$$
$$ {\alpha }_0$$, $$ {\alpha }_f$$ : initial & final value of $$ {\alpha }_c$$
$$ {\alpha }_{sf}^i$$: final value of $$ {\alpha }_s^i$$
$$ M_p^i$$ : fully plastic bending moment of i-th ring stiffener

이상과 같이 Phase 1에서 발생되는 각 에너지 성분들을 이용하여 내파가 발생할 때 충격파(Pulse) 에너지로 변환되는 동적에너지 $$ E_{dyn}$$는 다음과 같이 얻을 수 있다.

4.4 충격파 에너지 추정

(8), (9), (10), (11), (12)식으로 얻어진 각 에너지 성분들은 간이 물리모델의 단일 자유도인 중앙 단면에서 소성관절의 변형량 $$ w_c$$의 함수로 나타낼 수 있으므로 각 에너지 성분들은 변형의 점진적 진전에 따라 시간영역에서 유한차분법으로 구할 수 있다.

Fig. 8 에서 보는 바와 같이 원통 실린더 표면에 작용하는 압력 성분은 이 미소면적의 동적 가속도 $$ \ddot{w}$$를 유발한다. 원통 표면의 구조요소를 가속시키는데 필요한 압력성분과 가속도의 상관관계는 다음 식으로 쓸 수 있다.

여기서 $$ P$$는 원통주위의 정수압과 동적 거동을 고려한 외압이며 $$ P_c$$는 원통구조의 붕괴를 지속하는데 필요한 압력 성분, 그리고 $$ m$$은 미소표면 요소의 단위면적당 질량(mass per unit area)이다. (14)식을 차분법에 의해 시간영역에서 순차적으로 계산한다. 시간증분 $$ ∆t$$의 크기를 충분히 작다면 면적에 수직방향 가속도는 $$ ∆t$$ 동안 일정하게 유지되는 것으로 간주할 수 있으므로 n 번째 시간 단계에서 속도와 변위는 다음과 같이 얻을 수 있다.

Fig. 8.

Kinematics of deformed arc segment BC in higher collapse modes

4.5 설계 충격파의 추정 방법

이렇게 내파시 발생되는 충격파 에너지 크기가 얻어지면 다음 단계로 이 충격파가 주위 구조물에 미치는 영향을 평가하기 위하여 이 에너지에 의한 충격파의 시간 이력을 추정해야 한다.

Turner and Ambrico(2013)는 원통형 실린더의 내파과정에서 발생되는 충격파는 비교적 구면파에 가까운 것으로 보고하고 있으며 이는 실린더 중앙 단면의 상하부가 서로 접촉되기 시작하는 시점 즉 phase 1의 말미에서 충격파가 발생되기 때문인 것으로 설명하고 있다. 만일 내파의 충격파가 구면파 형태로 전파된다면 충격파 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다(Cook et al., 1997).

여기서, $$ r, {\rho }_{\infty }, c_{\infty }$$는 각각 공간상 압력 계측 지점의 반경방향 거리, 원방의 유체밀도 및 유체 중 음속을 의미한다. 현재까지는 파형을 정확히 추정하기는 어렵지만 일반적으로 적용되는 삼각형 충격파를 가정하여 상기 에너지 식을 만족시킬 수 있는 구체적인 충격파 시간 이력을 결정할 수 있을 것으로 판단된다. 충격파의 파형은 추후 이루어질 압력 챔버 실험 결과를 참고할 수 있으며 충격파의 피크치와 지속시간은 주위 구조물에 가장 크게 영향을 미칠 수 있도록 보수적으로 결정할 수 있을 것이다.