제어핀이 달린 수중 물체의 공동 수치해석

2.1 지배방정식

본 연구에서는 3차원 초공동의 수치해석을 위해 비압축성, 혼합유체 모델(mixture fluid model)의 정상유동으로 가정하였다. 따라서 연속방정식과 RANS 방정식은 각각 (1), (2)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $$ m$$은 혼합유체(mixture fluid)를 나타내며, $$ U_i^m$$와 $$ u_i^m$$는 각각 혼합유체의 질량평균 평균속도(mass averaged mean velocity)와 변동속도(mass averaged fluctuating velocity) 이며, $$ {\rho }_m$$은 혼합 밀도(mixture density)이다. 질량평균 평균속도와 혼합 밀도는 (3), (4)와 같이 나타낼 수 있다.

앞에서 $$ q$$는 혼합유체 내에 존재하는 $$ N$$종의 유체를 구별하여 표시하며, $$ {\alpha }_q$$는 각 유체의 체적분율(volume fraction)이다. 또 $$ u_m$$은 혼상 점성으로 다음과 같이 표현된다.

식(2)의 $$ -{\rho }_m\overline{u_i^{m^{\text{'}}}{u}_j^{m^{\text{'}}}}$$는 혼합유체 유동에 대한 Reynolds 응력이다. 본 연구에서는 Boussinesq 가정에 기초하여 (6)과 같이 Reynolds 응력을 가정하고, turbulent eddy viscosity $$ u_t$$는 2-방정식 모델인 SST $$ k-w$$ 난류모델을 사용하여 계산하였다. 여기서 $$ k$$는 난류운동에너지로서 $$ \left(\overline{u^{m^{\text{'}}}{u}^{m^{\text{'}}}}+\overline{v^{m^{\text{'}}}{v}^{m^{\text{'}}}}\right)/2$$ 이며, 물체 벽면에서의 처리는 Reichardt의 혼합 벽법칙(blended wall law)를 사용하였다.

한편, 상(phase)과 상 사이의 경계는 체적분율로 결정하며, 이는 또한 혼합 밀도, 혼합 점성, 혼합 속도에 관계된다.

본 연구에 사용된 3종(물, 수증기, 공기)의 유체에 대한 체적분율 방정식은 다음과 같다.

위 식에서 우변 항 $$ {\dot{m}}_{pq}$$는 액체의 기화(vaporization) 또는 기체의 응축(condensation)에 의한 단위시간당 질량 전달을 나타내며, 아래첨자 $$ w, v, a$$는 각각 물, 증기, 공기를 의미한다. 캐비테이션의 수치해석을 위해서는 체적분율 방정식 뿐 아니라 증기에 대한 수송방정식도 함께 풀어야 한다.

2.2 캐비테이션 모델

본 연구에서는 Sauer의 캐비테이션 모델(STAR-CCM+ 9.02 User’s Guide, 2014)을 사용하였다. 캐비테이션 해석을 위한 증기 수송방정식은 (8)과 같고, 우변은 기화 압력을 기준으로 절대압력(absolute static pressure)의 상대적인 고저에 따라서 기화(vaporization) 또는 응축(condensation)하는 상의 변화를 모델링한 소스(source)항이다.

여기서 $$ v$$는 증기의 상(vapor phase)을 나타내고, $$ {\alpha }_v$$는 증기의 체적분율, $$ {\rho }_v$$는 증기의 밀도이며, $$ U_i^v$$는 증기의 속도이다. $$ R_e$$와 $$ R_c$$는 캐비테이션 내부의 증기와 액체 사이에서 각각 기화와 응축을 나타내는 소스(source)항이다. 기화 및 응축 항은 유사한 방식으로 표현되고, 식(9)식 및 (10)과 같이 표현되며, 기화 압력(vapor pressure) $$ P_v$$를 기준으로 압력이 높고 낮음에 따라 적용 항이 판정된다.

$$ P_v \ge P$$ 일 경우

일 경우

증기 기포의 크기는 기포 반지름 $$ {\mathfrak{R}}_B={\left(\frac{{\alpha }_v}{1-{\alpha }_v}\frac{3}{4\mathrm{\pi }}\frac{1}{n_0}\right)}^{\frac{1}{3}}$$의 관계식으로부터 결정하며, 이 때 증기의 체적분율은 식(1)식 (8)로부터 계산하고, 핵 밀도(seed density) $$ n_0$$는 $$ {10}^{12}{m}^{-3}$$, 핵 직경(seed diameter)은 $$ {10}^{-6}m$$로 하였다.

2.3 유동 해석 코드

유한체적법(FVM) 기반의 상용코드 STAR-CCM+ 9.02를 사용하여 수치계산을 수행하였다. 지배방정식의 확산항은 2차 중심차분, 대류항은 2차 상류차분으로 이산화하고, 체적분율의 계산에는 HRIC(High Resolution Interface Capturing) VOF(Volume of Fluids) 방법을 사용하였다. Rhie & Chow의 압력방정식을 사용하였으며, 속도-압력 연성은 SIMPLE 방법을 사용하였다.

3.1 대상 물체

수중물체의 전체 형상과 캐비테이터 및 웨지(wedge) 단면을 포함한 제어핀의 상세 형상을 Fig. 4에 나타내었다. 원판 캐비테이터의 직경 $$ D_c$$로 무차원화 하여, 물체의 전체 길이 $$ l/D_c$$(45.7), 몸통 평행부의 직경 $$ D/D_c$$(3.30), 제어핀의 스팬($$ l_f/D_c$$ : 2.35)을 정의하였다.

Fig. 4

Geometry of an underwater body

3.2 유동영역 및 경계조건

본 연구에서는 혼합 유체(mixture fluid) 모델을 이용하여 물, 수증기, 공기가 혼재된 다상 유동을 계산하였다. 수면을 유동영역 안에 포함시켜서 수면 아래에서 일정한 속도로 주행하는 수중 물체의 공동유동을 수치해석 하였다.

Fig. 5는 공동유동 계산에 사용된 좌표계와 유동영역을 나타낸다. 몸체 끝단(base)에서 수직 방향으로 정수면과 만나는 점을 좌표 원점으로 잡고 하류 방향을 $$ x$$축, 연직 상 방향을 $$ z$$축 그리고 수중물체의 우현 쪽을 $$ y$$축의 양의 방향으로 정하였다.

Fig. 5

Definition of coordinates and flow calculation domain

캐비테이터의 직경 $$ D_c$$를 단위로 할 때, 유입 경계는 캐비테이터 앞면으로부터 상류로 40$$ D_c$$, 유출 경계는 캐비테이터 앞면에서 하류로 240$$ D_c$$, 수면 위 대기의 경계는 물체 중심선에서 연직 상방으로 70$$ D_c$$, 바닥 경계는 연직 하방으로 100$$ D_c$$가 되도록 정하였다. 정수 면에서 캐비테이터의 중심까지 거리인 잠김 깊이($$ h_s$$)는 30$$ D_c$$, 정수 면에서 바닥 경계까지 거리인 전체수심($$ H$$)은 130$$ D_c$$이다.

한편, 유동영역에 대한 경계 조건으로서, 유입 경계에는 균일속도 조건을, 유출 경계에는 절대압력 조건을, 상부의 대기와 하부의 물의 경계에는 균일속도 조건을 적용하였다. 전체 유동을 좌우 대칭으로 가정하고 대칭면을 기준으로 우측만 계산영역으로 선택하였으며, 대칭 조건을 사용하였다.

3.3 수치격자 및 유동계산조건

Fig. 6에 보인 바와 같이, 수치 격자로는 Star-CCM+에서 제공하는 prism layer를 포함한 trimmer mesh를 사용하였으며, 사용된 격자의 개수는 약 240만개이다. 수치해석 cases에 대한 조건은 Table 1에 요약하여 나타내었다.

Fig. 6

Computational grid for calculating cavity flows around the underwater body

Table 1과 같이 물체의 잠김 깊이($$ h_s$$)가 정수면 아래 1.5$$ m$$인 조건에서, 총 7개 속도에서 계산을 수행하였다. 참고로, 각각의 속도에 해당되는 공동수를 함께 표시하였다.

Table 1.

Conditions for calculation of the cavity flows

3.4 속도에 따른 공동 발달

Fig. 7은 20 ~ 120$$ m/s$$ 범위의 속도 7개를 선정하여 계산한 공동 형상을 나타낸 것이다. 이 그림에서 물과 수증기의 체적분율이 0.5인 면을 공동 경계면으로 정의하였다.

Fig. 7

Evolution of the cavity shape with the velocity of the underwater body

속도 40 $$ m/s$$에서 공동 형상을 살펴보면, 캐비테이터에서 직경의 약 5배(물체 길이의 약 11%)의 공동이 발생하였고, 제어핀에서는 평균코드의 약 12배 정도의 공동이 계산되었다. 또 몸통의 직경이 일정해지기 시작하는 어깨에서도 얇은 공동이 발생되는 것을 확인하였다.

60 $$ m/s$$일 때, 몸통 어깨에서 공동이 더 길게 발달하고, 제어핀에서 발생한 공동이 몸통의 끝단에서 발생한 공동과 합쳐져서 발달한 것을 볼 수 있다.

속도 80 $$ m/s$$에서는 캐비테이터에서 발생한 공동이 어깨에서 발생한 공동과 하나로 합쳐져 몸통의 약 77%를 감싸 덮을 만큼 발달하지만, 아직 제어핀까지 도달하지 못한 것을 볼 수 있다.

속도가 100 $$ m/s$$에 이르면 캐비테이터의 공동이 몸통을 모두 감쌀 만큼 발달하는 것을 볼 수 있으며, 따라서 몸통의 항력이 거의 사라질 것이다. 이때, 제어핀의 하단 절반가량이 공동으로 덮여서 제어핀의 유효성도 약 절반으로 감소할 것으로 예상된다.

속도가 120$$ m/s$$ 이상이면 제어핀을 대부분 감쌀 만큼 캐비테이터에서 발생된 공동의 직경이 커지고 길이도 길어지며 각 부분에서 발생한 공동들이 모두 합쳐진 초월공동으로 나타난다.

이상에서 살펴본 것과 같이 수중물체의 속도가 100 $$ m/s$$ 이상 되면 몸통을 모두 감쌀 만큼의 공동이 발달한다. 한편, 액침 길이는 몸통에 달린 제어핀이 공동 표면을 관통하여 공동 바깥쪽의 물속에 잠긴 깊이를 지칭하는데, 공동의 발달 정도에 따라서 제어핀의 액침 길이가 달라진다. 속도가 100$$ m/s$$일 때는 액침 길이가 제어핀 스팬($$ l_f$$)의 약 43% 정도이지만, 120$$ m/s$$일 때는 약 25%로 줄어든다. 액침 길이가 짧아지면 제어핀의 성능이 그에 비례하여 저하되므로, 이에 대한 신중한 고려가 필요하다.

Fig. 7에 나타낸 초월공동의 형상 중에서, 80$$ m/s$$와 100$$ m/s$$일 때, 초월공동의 단면 형상이 길이 방향으로 어떻게 변하는지 살펴보았다. Fig. 8에 표시한 a는 캐비테이터 중간 지점이고, b는 몸통의 직경이 일정해지기 시작하는 부분이다. 또 c와 d는 각각 제어핀 앞날 시작점과 뒷날 위치이며, e는 몸체 끝단에서 후방으로 전체 길이의 1% 떨어진 위치이고 f는 20% 떨어진 위치이다.

Fig. 8

Positions of constant x-planes for comparison of cross-section shapes of the cavity

Fig. 9에 보인 바와 같이, 두 속도 모두 a 위치에서는 공동의 단면이 원형에 가깝지만, b 위치에서는 속도에 따른 공동 직경 혹은 공동단면 두께의 차이가 난다. 또 후자의 경우에 상하, 좌우방향의 공동단면 형상이 서로 다른데, 이러한 차이는 주로 격자분포와 대칭경계조건의 영향 때문으로 생각된다.

Fig. 9

Cross-section shapes of two cavities around the body at selected constant x-planes

한편, c~f에서는 속도에 따른 공동발달 정도의 차이 때문에 공동단면의 형상이 서로 확연하게 다르다.

속도가 80$$ m/s$$인 경우에는, 캐비테이터에서 발생한 공동이 c위치 이전의 몸통에서 마감되어 c와 d에 나타나지 않는다. 하지만, e와 f에서는 제어핀과 몸통 끝단(base)에서 각각 발생한 공동의 단면을 볼 수 있다.

속도 100$$ m/s$$인 경우에는, a~e로부터 캐비테이터의 공동이 몸통을 모두 감싸고 있음을 보여준다. d와 e에서는 제어핀 부근의 압력이 증기압보다 높아서 제어핀 주변의 공동 경계면이 움푹 파인 모양(Fig. 13 참조)으로 나타나며, 이러한 공동 형상의 특징이 몸체 후류까지 남아있는 것을 f의 공동 단면을 통해서 확인할 수 있다. 또 캐비테이터에서 발생한 공동이 제어핀 하단은 물론 몸통 끝단까지 감싸고 제어핀과 몸통 끝단에서 발생한 공동과 합쳐지면서 복잡한 구조의 형상으로 나타난 것을 알 수 있다.

Fig. 10은 80$$ m/s$$와 100$$ m/s$$일 때, y 평면(상)과 z 평면(하)에서 종축 방향의 공동 단면을 나타낸 것이다.

Fig. 10

Longitude-section shapes of two cavities at vertical and horizontal center-planes of the body

앞서 살펴본 바와 같이 속도가 80$$ m/s$$일 때는 공동이 제어핀 이전의 몸통 상에서 마감되지만, 100$$ m/s$$일 때는 몸통을 모두 감싸고 후류(wake)에서 마감된다. 몸통 끝단(base)에서 발생한 공동은 제어핀에서 발생한 공동에 비해서 짧게 발달하며, Fig. 9의 e와 f에 나타낸 공동단면의 형상에서도 이를 확인할 수 있다.

Fig. 11에는 본 연구에서 계산된 공동 형상을 수중주행실험에서 촬영한 공동사진의 영상과 비교하였다. 좌측은 정상유동 상태에서 계산한 공동 형상이고, 우측은 촬영된 공동 영상이다.

Fig. 11

Comparison of cavity shapes: steady cavity flow calculation(left); underwater test photography(right)

속도 60$$ m/s$$인 첫 번째와 90$$ m/s$$인 다섯 번째 열을 제외하면 비교된 속도가 일치하지 않고 사진의 공동 영상이 또렷하지 못해서 정량적인 비교가 어렵지만, 공동의 발달 정도를 정성적으로 비교할 수는 있다. 속도 60$$ m/s$$일 때 계산된 공동 형상(좌)과 촬영된 사진(우)을 비교하면 양쪽 모두 캐비테이터, 몸통 어깨, 제어핀에서 제각기 공동이 발생한 것을 볼 수 있다.

70$$ m/s$$일 때 계산결과는 캐비테이터에서 발생한 공동이 어깨는 물론, 직경이 일정한 원통형 몸통의 20% 이상을 감싸고 있는데 반해서, 68$$ m/s$$로 조금 낮은 속도에서 촬영된 공동은 어깨를 넘어서 원통형 몸통의 약 10% 남짓 감싼 정도로 발달한 것으로 보인다.

80$$ ~$$100$$ m/s$$는 실험에서 촬영된 공동에 비해 계산된 공동이 약간 더 많이 발달한 것 말고는 비교적 잘 일치하고 있다. 특히, 90$$ m/s$$ 이상의 속도에서 캐비테이터 공동이 몸통 끝단을 감싸서 덮을 만큼 발달한 것과, 이미 발달해 있던 몸통 끝단의 공동 및 제어핀의 공동과 합쳐져 형성된 복잡한 3차원 공동 형상이 계산결과(좌)와 실험사진(우)에서 유사하게 나타난 것은 고무적이다.

수중주행실험에서 물체는 정지 상태로부터 100$$ m/s$$에 도달하기까지 추진로켓에 의해 가속된다. 수중에 고정된 카메라로 촬영한 공동의 사진은 가속 상태로 주행하는 물체에 발생한 공동의 순간 영상으로서, 수치해석을 통하여 계산된 정속으로 주행하는 수중물체에서 발생하는 정상 상태의 공동과 본질적으로 다르다고 할 수 있다. 하지만 Fig. 11에 비교하여 나타낸 정상 상태의 공동 형상은 수중주행실험에서 가속 주행하는 로켓추진 물체에 발생한 공동의 순간 영상과 놀라울 정도로 잘 일치하고 있다. 이로부터 중력가속도의 5~6배 수준으로 가속 전진 운동하고 있는 수중물체의 초월공동 발달에 가속도가 미치는 영향이 매우 작다는 것을 미루어 짐작할 수 있다.

3.5 속도에 대한 항력 특성

캐비테이터에서 발생한 공동을 식별하기 어려운 저속(20$$ m/s$$)으로부터, 초월공동으로 발달하여 몸통과 제어핀을 모두 감싸고 물체후류에서 마감되는 고속(120$$ m/s$$)까지, 주행 속도에 따른 물체의 항력 특성을 Table 2에 정리하였다.

Table 2.

Cavitation numbers, drag and drag coefficients according to velocity variations

우선 주목할 점은 통상적인 경우와 달리 항력이 속도의 제곱에 비례하지 않으며, 상대적으로 많이 작은 것이다. 특히, 주행 속도 85$$ m/s$$와 100$$ m/s$$인 경우를 서로 비교하면 속도 차이가 15%남에도 불구하고 항력의 차이는 약 1% 남짓에 불과하다.

Fig. 12는 전체 항력과 각 부분별 항력 그리고 압력 및 마찰항력 성분의 속도에 대한 변화를 나타낸 것이다. 속도 20$$ m/s$$일 때 약 1,700 N 부터 120 $$ m/s$$일 때 약 13,200 N 까지 속도가 높아짐에 따라서 항력이 대체로 증가한다. 하지만 물체의 부분별 항력이 속도에 따라서 크게 달라지기 때문에 전체 항력도 속도에 따라서 크게 변한다. 특히, 62 ~ 64$$ m/s$$와 85 ~ 86$$ m/s$$ 구간에서는 속도가 증가하는데 항력이 오히려 감소하는 항력의 역전 현상이 발생한다.

Fig. 12

Variation of the drag with the velocity of the underwater body

캐비테이터의 항력은 거의 압력항력 성분으로서 속도의 제곱에 비례하는 일반적인 특성을 잘 보여주고 있다. 이에 반해, 몸통의 항력은 50$$ m/s$$까지 속도에 비례하여 증가하고, 50 ~ 60$$ m/s$$ 구간에서는 거의 일정하며, 60$$ m/s$$ 이후에는 오히려 감소한다. 50 ~ 60$$ m/s$$에서 몸통 항력이 일정한 것은 속도가 높을수록 캐비테이터 공동이 몸통의 전방경사면을 더 많이 감싸면서 나타난 변화이다. 주목할 것은 침수표면적이 줄지만 몸통의 마찰항력은 여전히 늘어나고 압력항력이 줄어드는 점이다.

60$$ m/s$$ 이후, 속도가 높아져도 몸통 항력이 오히려 감소하는 것은, 공동이 어깨를 넘어 평행부를 감싸면서 몸통의 압력항력이 급격히 감소하여 사라지고, 66$$ m/s$$ 이후부터 마찰항력이 줄어들기 때문이다. 또 62 ~ 64$$ m/s$$ 속도 구간에서 전체 항력의 역전 현상이 나타난 주된 원인은, 몸통의 압력항력이 급격히 감소하여 속도 64$$ m/s$$ 부근에서 완전히 사라진 것 때문이다.

한편, 85 ~ 87$$ m/s$$에서 몸통 끝단과 제어핀의 공동이 캐비테이터의 공동과 합쳐져 줄어들면서(Fig. 13), 몸통의 압력항력이 잠시 증가한다. 속도 86$$ m/s$$ 이후에는 공동이 몸통을 대부분 감싸면서(Fig. 13) 몸통의 마찰항력이 거의 사라진다. 그 결과, 몸통 항력이 천천히 감소하여, 속도가 100$$ m/s$$에 도달한 이후에는 거의 사라진다. 이와 같이 속도에 대한 몸통 항력의 증감은 캐비테이터에서 발생한 공동이 몸통을 어느 정도 감싸는지에 의해서 결정된다.

Fig. 13

Formation of CFD cavities around the control fins

제어핀의 항력도 대부분 압력항력으로서 85$$ m/s$$까지는 대략 속도 제곱에 비례해서 증가하여 전체 항력의 약 35%까지 커지다가, 속도 86$$ m/s$$ 부근에서 캐비테이터 공동이 제어핀의 하단을 감싸면서(Fig. 13 참조) 급격히 감소한다. 이러한 제어핀 항력의 급격한 감소로 인하여 85 ~ 86$$ m/s$$ 속도 구간에서 전체 항력의 역전 현상이 발생한다. 속도가 86$$ m/s$$보다 높아지면서 공동이 커지고 제어핀을 더 많이 감싸면서, 물에 잠긴 제어핀 상부(액침부분)에 작용하는 항력이 속도 제곱에 비례하여 증가함에도 불구하고, 제어핀의 항력은 점차 감소하다가 일정해진다. 속도에 대한 제어핀 항력의 이상과 같은 변화 때문에 85$$ ~$$100$$ m/s$$ 속도구간에서 전체 항력이 역전되어 속도 100$$ m/s$$의 항력이 85$$ m/s$$의 항력보다 오히려 더 작게 나타난다.

한편, 100$$ m/s$$ 이상의 속도에서는 몸통에 작용하는 항력은 사라지고, 제어핀의 항력은 감소하여 일정해지며, 캐비테이터의 항력이 전체 항력의 변화를 지배한다. 이에 따라서 전체 항력이 속도 제곱에 비례하여 증가하는 일반적인 특성이 드러난다.

항력 피크가 나타난 속도 85$$ m/s$$와 몸통 항력이 거의 사라진 설계 속도 100$$ m/s$$의 항력을 보다 더 자세히 분석하기 위해서 Table 3에 주요 구성부의 항력 성분을 구분하여 나타내었다.

Table 3.

Friction and pressure drags of body parts (unit: [N])

두 속도에서 전체 항력의 크기는 거의 다르지 않지만, 각 구성부의 항력 성분을 비교해보면 분명한 차이가 나타난다.

속도 100$$ m/s$$일 때 제어핀의 항력(또는 압력항력)이 85$$ m/s$$인 경우의 절반으로 줄었고, 몸통 항력은 전체 항력의 약 1%로서 거의 사라졌다. 속도가 85$$ m/s$$에서 100$$ m/s$$로 높아지면 당연히 캐비테이터의 항력은 속도의 제곱에 비례하여 증가하지만, 캐비테이터에서 발생한 공동이 몸통 전부와 제어핀의 절반가량을 감싸면서 몸통의 항력은 사라지고 제어핀의 항력이 대략 절반으로 크게 감소하였기 때문에 속도 100$$ m/s$$의 전체 항력이 속도 85$$ m/s$$보다 미소한 차이지만 더 작게 나타난 것임을 알 수 있다.

Fig. 14는 전체 항력계수와 각 부분별 항력계수 그리고 몸통의 압력 및 마찰 항력계수의 공동수에 대한 변화를 나타낸 것이다. 여기서 항력계수는 $$ C_D=Drag/(0.5{\rho }_l{U}_0^2({\mathrm{\pi D}}_{\mathrm{c}}^2/4\left)\right)$$로서 몸통 평행부의 단면적으로 무차원화 하여 정의하였다.

Fig. 14

Variation of the drag coefficient with the velocity of the underwater body

한편, 본 연구의 해석 결과에 의하면 대부분의 속도 구간에서 전체 항력 중 제어핀의 항력이 차지하는 비중이 상당히 큰 것으로 파악되므로 이에 대한 검토가 필요하다. 구조적 안전상의 문제가 없는 범위 내에서 제어핀의 두께를 줄이고 항력을 감소시킨다면 속도 성능을 개선할 여지가 있으며, 제어핀으로 인해 나타난 항력 피크와 역전 현상도 완화될 것으로 사료된다.