X타 수중함의 유도･제어시스템 설계

2.1 대상 수중함

본 시뮬레이션 연구의 대상 수중함은 Thuné (2015)의 학위논문에 형상, 주요제원, 6자유도 동역학의 유체력 미계수, +/X타의 운용개념 등이 공개된 1,900톤급 수중함으로 결정하였다. 대상 수중함의 일반배치도는 Fig. 1, 주요 제원은 Table 1과 같다.

Fig. 1

General arrangement (Thuné, 2015)

Table 1

Principal dimensions of the submarine

2.2 제어판 운용조건 및 구동특성

선회, 침로변경 등 수평면 운동을 위한 X타와 +타의 운용개념차이는 Fig. 2와 같이 도시할 수 있다.

Fig. 2

The + and X-configuration stern hydroplane (Thuné, 2015)

그림 Fig. 2에서 확인할 수 있듯, 수평면 운동 상황에서 +타 시스템은 1·3번 제어판만 작동하고, X타 시스템은 1·2·3·4번 제어판 모두 작동한다. 수직면 운동 상황에서 +타 시스템은 2·4번 제어판만 조작하고, X타 시스템은 1·2·3·4번 제어판 모두 작동한다. 본 연구에서는 X타 시스템의 1·2·3·4번 제어판 모두 선미 제어판(stern plane)의 의미로 통칭하고, 그 각도는 각각 δ₁, δ₂, δ₃, δ₄로 표기한다. 수중함의 제어판 운용범위는 속도별로 달라진다. 함수 제어판 및 함미 제어판(X타)의 운용범위는 Table 2와 같이 명령속도 U_c의 함수로 표현하여 시뮬레이션에 적용하였다.

Table 2

Operation condition of control surfaces

제어판의 구동 특성은 식 (1)과 같은 1차지연시스템이라 가정하였다.

여기서, δ는 함수 수평타 및 함미 제어판 각도를 통칭하는 의미의 기호이고, δ_c는 명령 제어판각, T_s는 시정수(time constant)를 의미한다. 본 연구에서 시정수 T_s는 2로 설정하였다. 함수 수평타의 최대 각속도는 3.85 °/sec, 함미 제어판의 최대 각속도는 3.33 °/sec로 가정하였다.

3.1 유도 알고리즘

수중함의 심도·침로 변경 시, 과도한 명령이 입력되면 과도한 타기 사용, 오버슈트(overshoot) 등의 문제가 발생할 수 있다. 따라서 수중함의 동역학으로 추종 가능한 심도·침로의 이력을 생성하고, 이를 기반으로 제어시스템에 입력되는 오차(error)를 생성하는 것이 합리적이다. 본 연구에서는 식 (2), 식 (3)과 같은 2차 지연시스템으로 추종심도(desired depth) 및 추종침로(desired heading)를 생성하였다.

여기서 z_c, z_d, ψ_c, ψ_d는 각각 명령심도, 추종심도, 명령침로, 추종침로를 의미한다. ζ와 ω_n는 2차지연시스템의 특성을 결정하는 상수인 감쇠비(damping ratio) 및 고유주파수(Natural frequency)를 의미한다. 본 연구에서는 추종심도생성의 ζ, ω_n는 각각 0.9, 0.07을 적용하고, 추종침로생성의 ζ, ω_n는 각각 0.9, 0.2를 적용하였다. 식 (2), 식 (3)으로 추종심도와 추종침로가 도출되는 과정에서 수중함 동역학을 고려하기 위하여 “변화율”의 제약을 식 (4), 식 (5)와 같이 설정하였다.

식 (4)에서 θ_max는 수중함 운용에서 허용가능한 최대종동요각을 의미한다. 본 연구에서는 저속인 5kts 이하에서는 12°, 5kts 초과 시 7°로 설정하였다. δ_max는 선미 제어판 최대각으로 Table 2에 표기한 바와 같이 명령속도에 따라 변한다. 식 (5)는 선수동요(yaw) 운동의 정상상태를 가정한 후 선수동요 각속도로 수식을 정리해 도출하였다. 위의 알고리즘을 바탕으로 생성된 추종심도·추종침로 궤적의 예를 그래프로 표현하면 Fig. 3과 같다.

Fig. 3

Desired depth and heading angle generated by guidance algorithm

3.2 PID 제어기 설계

수중함의 심도변경은 일반적으로 함수 수평타 및 함미 제어판 조작으로 발생하는 종동요(pitch) 운동을 이용하여 수행된다. 본 연구에서는 PID 제어 알고리즘을 이중루프(double loop)로 구성하였다 (Park et al., 2016). 외부루프(outer loop) 제어기는 식 (6)과 같이 심도의 오차를 되먹임(feedback)하여 수중함이 추종해야 할 명령 종동요각(command pitch angle) θ_c를 출력해준다.

여기서, $$ \tilde{z}$$는 심도 오차를 의미하며, $$ \tilde{z}=z-z_d$$로 표현할 수 있다. K_p,z, K_i,z, K_d,z는 각각 외부루프 명령종동요각 생성 알고리즘의 비례이득, 적분이득, 미분이득이다. 명령종동요각은 추종심도/추종침로 생성 알고리즘과 동일한 방법으로 식 (7)과 같이 추종종동요각(desired pitch angle) θ_d로 성형(reshaping) 된다.

여기서, ζ_z와 ω_n,z는 외부루프 추종동동요각 생성 알고리즘의 감쇠비및 고유주파수를 의미하며, 본 연구에서는 각각 0.5, 0.9로 결정하였다. 내부루프(inner loop) 제어기는 수중함의 종동요각 θ가 추종종동요각 θ_d을 추종하기 위한 함수 수평타각 및 함미 제어판각을 계산한다. 종동요 운동방정식을 단순화하면 식 (8)과 같이 표현할 수 있다.

여기서, v_θ는 의사제어(pseudo control)을 의미하며, 해당 방정식에서 제어력을 낼 수 있는 함수 수평타와 함미 제어판 관련 항으로 생각해도 무방하다. Δ(x,u)는 종동요 운동방정식인 식 (8)에 표현되지 않은 모든 항을 포괄적으로 표현한 항으로, 일반적으로 모델링 불확실성(modeling uncertainty)를 표현할 때 사용하는 기호이다. Δ(x,u)를 무시할 수 있다고 가정하고, 의사제어 v_θ를 식 (9)와 같이 설정하면, 식 (8)은 식 (10)과 같이 정리할 수 있다.

여기서, $$ \tilde{\theta }$$는 종동요 오차를 의미하며, $$ \tilde{\theta }={\theta }_d-\theta $$로 표현할 수 있다. K_p,θ, K_i,θ, K_d,θ를 적절하게 결정하면 식 (10)의 종동요 오차는 0에 수렴하게 되고, 이는 수중함의 종동요가 추종종동요각을 추종하게 됨을 의미한다. 의사제어 v_θ는 식 (11)과 같은 방법으로 함수 수평타 및 함미 제어판에 할당(control allocation)되었다.

여기서, 윗첨자 “+”은 의사역행렬(psuedo inverse)를 의미한다. 하첨자 “c”는 제어판 각의 명령임을 의미한다. 침로제어기는 식 (9), 식 (10)과 같은 방법으로 설계하여 식 (12)로 표현할 수 있다.

산출된 의사제어 v_ψ는 식 (13)과 같은 방법으로 함수 수평타 및 함미 제어판에 할당되었다.

수직면 제어를 위해 식 (11)과 같이 계산된 선미 제어판 각도 명령 값, 그리고 수평면 제어를 위해 식 (13)과 같이 계산된 제어판 각도 명령 값이 더해져 최종적인 선미 제어판 각도 명령 값이 생성된다. 본 연구에서 사용된 PID 제어 시뮬레이션에 사용된 제어이득을 정리하면 Table 3과 같다.

Table 3

PID control gain

3.3 LQR 제어기 설계

LQR(linear quadratic regulator) 제어는 주어진 시스템의 상태방정식을 위배하지 않으면서 최적기준(optimality criterion)을 만족시키는 제어법칙을 찾는 것을 목표로 하는 기법이다. LQR은 선형 시불변 시스템(linear time invariant system)에 초기시간 t_i는 0으로, 최종시간 t_f는 무한대로 가정한다. 상태방정식과 가격함수는 식 (14), 식 (15)와 같이 표현할 수 있다.

여기서, J는 평가함수(performance index function)를 의미한다. Q와 R은 대칭행렬로서 Q ≥ 0, R > 0로 주어지며, 각각 상태 x와 제어입력 u의 크기에 대한 가중행렬(weighted matrix)를 나타낸다. LQR은 식 (14)에 표현된 상태방정식을 구속조건으로 가지면서 식 (15)의 평가함수를 최소화하는 제어법칙을 찾는 문제이다. 유일한 최적제어가 존재하고 실시간에서 모든 상태변수가 관측 가능하다면, 최적제어법칙은 식 (16)과 같은 형태로 표현된다.

여기서, P는 양의 반한정(positive semi-definite) 행렬로 식 (17)에 표현된 Riccati식의 유일한 해이다.

LQR 제어기법을 적용하기 위해서는 운동모형의 선형화가 필요하다. 심도제어기를 설계하기 위해서 수직면 운동을 선형화하여 식 (18)과 같은 형태로 상태방정식을 구성하였다. 센서로 직접 계측할 수 없는 상하동요 w는 제어를 위한 되먹임으로의 사용이 부적절하다 판단하여 상태방정식에서 제외하였다.

행렬 A_v, B_v의 하첨자 ‘v’는 수직면 관련 행렬임을 표현하기 위해 도입하였다. 동일한 방법으로 수평면 운동에 대한 선형 상태방정식을 구성하면 식 (19)와 같다.

행렬 A_h, B_h의 하첨자 ’h‘는 수평면 관련 행렬임을 명시하기 위해 도입하였다. 식 (18), 식 (19)와 같이 구성된 행렬과, 가중행렬 Q와 R이 결정되면 식 (17)에 표현된 Riccati식을 풀어 행렬 를 구하고, 식 (16)을 이용하여 제어입력 u를 결정하게 된다. 이때, 제어입력 u는 식 (9)와 식 (12)에 표현된 의사제어 v_θ, v_ψ와 같은 차원을 갖기 때문에 식 (11)과 식 (13)에 표현된 제어할당 방법과 동일한 방식으로 명령 제어판 각도를 산출할 수 있다. 본 연구에서 사용된 LQR 제어 가중행렬 및 계산된 제어이득을 정리하면 Table 4와 같다.

Table 4

LQR weighted matrix

3.4 H∞ 제어기 설계

본 장의 이론설명은 Choi (2012)의 서적을 참고하여 작성되었다. 시스템에 현저한 불확실성이 존재하지만, 전체 시스템이 바람직한 성능특성을 유지하는 경우, 이러한 시스템을 강건제어(robust control) 시스템이라고 한다. H∞제어는 강건제어기법 중 하나로, 그 설계를 위해 Fig. 4와 같은 투포트 블록선도(two-port block diagram)를 도입한다.

Fig. 4

Two-port block diagram

블록선도는 제어대상과 제어기의 두 블록으로 구성되어 있으며, 제어대상은 두 개의 입력과 두 개의 출력을 가지고 있다. 두 개의 입력은 외생신호입력(exogenous input)과 제어입력(control input)으로 각각 구분된다. 외생신호입력 $$ \overrightarrow{w}$$는 실제적으로 외부에서 들어가는 신호(명령, 외란 및 잡음 등)의 집합이며, 제어입력 $$ \overrightarrow{u}$$는 제어기로부터 나오는 신호로서 제어대상에 직접 작용하여 원하는 출력을 만들어 내게 된다. $$ \overrightarrow{u}$$로서 외생신호 $$ \overrightarrow{w}$$를 직접 조정할 수 없다는 점에서 두 신호를 구별할 수 있다. 제어대상의 출력 역시 두 그룹으로 분류할 수 있는데, 첫 번째 그룹인 $$ \overrightarrow{z}$$는 제어되는 양(제어량)으로서, 제어입력 $$ \overrightarrow{u}$$로 제어하고자 하는 신호를 포함하고 있다. 두 번째 그룹인 $$ \overrightarrow{y}$$는 제어대상에서 센서 등을 이용하여 관측되는 실제 출력을 나타내는 신호로서 제어기의 출력인 $$ \overrightarrow{u}$$의 생성에 기여하게 된다. 이와 같은 투포트블록선도에 대한 전달함수 표현식은 식 (20)과 같다.

여기서, P(s)는 제어대상과 구별하기 위하여 일반화 제어대상(generalized plant)이라 불린다. 식 (20)으로부터 제어출력 $$ \overrightarrow{z}$$와 외생신호입력 $$ \overrightarrow{w}$$사이의 폐루프전달함수는 식 (21)과 같이 표현할 수 있다.

식 (21)과 같은 폐루프전달함수 Φ_zw의 형식을 선형분수변환(linear fractional transformation)이라 부른다. 투포트블록선도의 상태방정식 표현은 식 (22)와 같다.

식 (22)의 상태방정식 표현을 압축행렬 형식을 이용하면 식 (23)과 같이 표현할 수 있다.

H∞제어란 식 (20)에 표현된 시스템에 대하여, 제어기 K(s)를 이용하여 식 (21)로 구성한 폐루프전달함수 Φ_zw의 H∞ norm 을 최소로 하는 제어기 를 도출하는 문제로 생각할 수 있다. 이때, 의 H∞ norm이란 식 (24)를 의미한다.

본 연구의 H∞ 심도제어의 블록선도는 Fig. 5와 같다.

Fig. 5

H∞ block diagram of depth control

심도제어 문제에서 제어량 z₁, z₂, z₃은 각각 심도오차, 선수 수평타각, 선미 수평타각으로 설정하였다. 수직면 동역학을 의미하는 플랜트 G는 LQR제어에서 구성한 바와 동일하다. 외생신호입력은 추종심도로 설정하였다. 시뮬레이션 시행착오를 거쳐 설정된 가중함수 W_e, W_δb, W_δs를 정리하면 Table 5와 같다.

Table 5

H∞ weighted function of vertical motion

심도제어와 유사한 방법으로 구성한 H∞ 침로제어의 블록선도는 Fig. 6과 같다.

Fig. 6

H∞ block diagram of heading control

침로제어 문제에서 제어량 z₁, z₂는 Fig. 6과 같이 각각 침로오차, 선미 수직타각으로 선정하였다. 수평면 동역학을 의미하는 플랜트 는 LQR제어에서 구성한 바와 동일하다. 외생신호입력은 추종침로로 설정하였다. 시뮬레이션 시행착오를 거쳐 설정된 가중함수 W_e, W_δr을 정리하면 Table 6과 같다.

Table 6

H∞ weighted function of horizontal motion