유체를 비압축성 점성 유체로 가정하여 연속방정식(식 (1))과 Navier-Stokes방정식(식 (2))이 지배방정식으로 사용되었으며, 고정된 직교 교차격자계에서 Two-step projection기법으로 속도와 압력을 연성시켰다. 아래 식의 t는 시간, u는 공간 평균된 속도, ρ는 밀도, ρ는 압력, v는 점성계수, R은 난류응력, F는 중력과 물체의 이동에 의해 발생하는 관성력인 체적력을 의미한다.

지배방정식의 대류항에서 공간 이산화에는 3차 상류차분법인 Kawamura-Kuwahara기법이 사용되었으며, 시간 이산화에는 Adams-Bashforth기법이 사용되었다. 대류항을 제외한 나머지 항들에 대하여 공간에 대해서는 2차 중심차분법이 사용되었으며, 시간에 대해서는 Euler explicit 방법이 사용되었다. 또한 사용된 격자크기 이하에서 난류특성을 고려하기 위해 SGS 난류모델을 적용하였다.

대상물체의 경우 Park et al. (2009)과 Hong et al. (2017)을 참고하여 평판 및 쐐기형 모델의 주요제원을 선정하였다. Fig. 1과 같이 자유수면과 만나는 평판 모델의 길이, 폭 및 두께는 각각 560mm, 280mm 및 10mm이며, 입수면에서 압력계측점 위치의 경우 평판 모델의 길이 방향에서 끝 면으로부터 P1까지 거리는 190mm이고, P1부터 각각 90mm, 180mm 떨어진 곳에 위치시켰다. P1, P2 및 P3의 폭 방향 위치는 끝 면으로부터 140mm인 지점이며, 평판 모델의 입수각은 3°부터 8°까지이다.

Fig. 1 
Geometry of the flat plate model and the pressure measuring points on the bottom surface

Fig. 2는 쐐기형 모델의 주요제원 및 압력계측점이다. 두 가지 형태의 쐐기형 모델을 이용하여 슬래밍 충격압력을 계측하였으며, 그 두 가지 모델의 선저경사각(dead-rise angle)은 20°와 30°이다. 단, 두 가지 쐐기형 모델의 경우에 상부의 길이는 동일하다. 압력계측점 위치는 쐐기형 모델 모서리로부터 대각선방향으로 50mm, 100mm 떨어진 곳이다.

Fig. 2 
Geometry of the wedge type model and the pressure measuring points on the bottom surface

본 연구에서 사용된 직교격자계(cartesian-grid system)는 물체적합격자계(body-fitted grid system)와 달리 격자선과 물체면이 일치하지 않기에 상대적으로 물체주변에서 정도가 상대적으로 낮으나, 격자계 생성이 용이하고 이산화 된 지배방정식이 단순하여 자유수면을 포함하는 문제에서 그 처리가 단순해지게 되는 장점을 가지고 있다. 또한 물체적합격자계의 경우 물체의 이동에 따라 격자계의 재작성 또는 이동이 필요하나, 직교격자계는 격자계의 재작성과 이동을 하지 않아 계산의 속도가 상대적으로 빠르다. Lee et al. (2012) 및 Jeong and Lee (2014)에서 자세한 수치기법에 대한 내용을 찾아볼 수 있다.

평판 및 쐐기형 모델의 격자는 Fig. 3과 같이 생성하였으며, 평판 모델의 경우 길이 방향으로 대상물체의 끝 단면부터 계산영역 –x축 방향 측면까지 거리는 평판 모델 길이인 L₁로 표현하여 0.8L₁, +x축 방향 측면까지 거리는 1.5L₁이다. 이는 유동이 흐르는 방향으로 도메인을 길게 생성하여 제트유동(jet flow)을 재현하고자 하였다. 대칭 경계조건을 적용하여 폭 방향으로 절반만 수치계산을 수행하였으며, 대상물체의 끝 단면부터 +y축 방향 측면까지 거리는 0.5L₁이다. 또한 깊이 방향으로 자유수면에서 -z축 방향 바닥면까지 거리는 1.5L₁로 설정하였다.

Fig. 3 
Computational domain and the grid systems of the flat plate and wedge type model

쐐기형 모델의 경우에는 길이 방향으로 대칭 경계조건을 적용하고 절반으로 수치계산을 수행하였으며, 길이 방향으로 대상물체의 끝단부터 +x축 방향 측면까지의 거리는 쐐기형 모델의 상부길이 L₂로 표현하여 0.8L₂로 설정하였다. 또한 폭 방향으로 대상물체의 끝단부터 +y축 방향 측면까지 거리는 0.5L₂이며, 깊이 방향으로 자유수면에서 -z축 방향 바닥면까지 거리는 0.8L₂이다. 두 계산 모두의 격자 수는 길이, 폭 및 깊이 방향으로 각각 240, 80, 145개를 사용하여 약 280만개의 격자를 사용하였다. 다만, 여기서 dx/dz의 비율을 2로 고정시켰다.

평판 및 쐐기형 모델은 자유수면에서 -z축 방향으로 등속 낙하하며, 낙하속도는 평판 및 쐐기형 모델 순으로 각각 2.37m/s, 3.00m/s이다. 수치계산 시 시간간격은 1/10000초로 설정하였다.

Fig. 4는 평판 모델의 입수각 8°에서 대표적인 시간에 따른 수치계산결과이며, 자유수면의 유동을 보여준다. 시간이 음수부터 시작되는 이유는 등속도의 수치계산이기 때문에, 수치계산 시간을 줄이기 위하여 평판 모델의 초기 높이를 자유수면으로 부터 10mm 정도에 위치하였다. 따라서 모형시험과의 시간을 일치시키기 위하여 시간 축을 이동하였다. 평판 모델이 자유수면에 닿은 후 입수하는 순간에 평판 모델의 끝에서는 강하게 물의 뒤집힘 현상이 발생되며, 평판 모델의 아래에서는 경사면을 따라 물이 흘러나가는 현상을 확인할 수 있다.

Fig. 4 
Free surface flow on the flat plate model (inclined angle = 8°)

Fig. 5는 평판 모델의 입수각 8°에서의 슬래밍 충격압력 시계열을 나타내고 있다. Park et al. (2009)에서 공개된 모형시험결과와 본 연구에서의 수치계산결과들을 직접 비교하였다. 전체적으로 보았을 때, 충격압력의 크기는 최대 5%정도 차이가 발생하였으나, 전체적으로 압력이 발생되는 시간과 감소되는 시간이 정성적으로 근접한 것을 확인할 수 있다. 다만, 본 연구에서의 수치계산결과들에서 약 0.0001초 간격으로 압력이 진동하는 현상이 보이는데, 이는 직교격자계에서 푸아송 방정식(Poisson’s equation)으로 압력을 계산할 때, 각 격자점에서 시간간격에 따라 그 압력을 얻어낼 때 발생되는 문제로 보이며, 향후 연구를 통한 개선이 필요한 것으로 판단된다.

Fig. 5 
Comparisons of the time histories of slamming impact pressures on the flat plate model (inclined angle = 8°)

FIg. 6은 평판 모델의 입수각이 3°인 경우에서 시간에 따른 자유수면의 유동을 보여준다. 여기서도 마찬가지로 모형시험과 수치계산결과의 시간을 일치시키기 위해 수치계산결과들을 시간 축을 이동하였다. Fig. 4와 비교하면, 평판 모델의 입수각이 작아짐에 따라 자유수면이 평판 모델에 빨리 닿는데, 이는 평판 모델의 경사면을 따라 흐르는 물의 속도가 상대적으로 빠르기 때문이다.

Fig. 6 
Fig. 6 Free surface flow on the flat plate model (inclined angle = 3°)

Park et al. (2009)에서는 평판 모델의 입수각을 0°부터 8°까지 모형시험을 수행하였으나, 본 연구에서는 3°에서 8°까지 평판 모델의 슬래밍 충격압력을 계산하였다. 이는 입수각이 소각도에 속한 0°부터 2°부근에서는 평판 모델과 자유수면 사이의 공기가 갇히면서 공기의 압축성에 의한 압력진동과 같은 영향들이 생기는 이유로, 수치계산이 상대적으로 어려웠기 때문이다.

Fig. 7에서 Park et al. (2009)의 모형시험결과들과 본 연구에서의 수치계산결과들을 비교하였을 때, 정량적으로 매우 근접함을 보이며, 여기서도 슬래밍 충격압력의 차이는 최대 5% 이하이다. 또한 압력의 발생 시간과 감소시간이 모형시험결과들과 수치계산결과들이 정성적으로 매우 근접함을 확인할 수 있다. 실제로 Fig. 5와 비교하면, P3의 최대압력 발생시간이 상대적으로 빠른 것을 확인할 수 있다.

Fig. 7 
Comparisons of the time histories of slamming impact pressures on the flat plate model (inclined angle = 3°)

Fig. 8은 KTTC(Korea Towing Tank Conference) 2015에 공개된 부산대학교 모형시험결과(Park et al., 2009)와 본 연구에서의 수치계산결과들에서의 슬래밍 충격압력 크기를 직접 비교한 그래프이다. 본 연구에서의 수치계산결과들은 각 슬래밍 충격압력 계측 위치별로 정성적인 경향이 모형시험결과들과 매우 근접함을 보인다. 또한 슬래밍 충격압력의 크기에 대한 수치계산결과들을 보면, 모형시험결과들과 비교하였을 때, 최대 10%정도의 차이를 보인다. 이는 모형실험의 경우 충격압력에 대한 물리적인 현상에서 압축성 및 비압축성 유체를 동시에 계측하나, 수치계산에서는 비압축성 유체만을 고려하여 계산을 수행하기 때문에 모형시험 및 수치계산결과의 차이가 발생하는 것으로 판단된다. 전체적으로 보면, 평판 모델의 입수각이 증가함에 따라 점차 슬래밍 충격압력들은 감소하는 경향을 확인할 수 있다. 이는 평판 모델의 입수각이 증가함에 따라, 평판 모델의 경사면을 따라 흘러가는 물의 속도 즉, jet flow라고 하는 유동을 생성하기 위하여 에너지를 소모하기 때문에 상대적으로 슬래밍 충격압력이 감소된 것으로 판단된다.

Fig. 8 
Comparisons of the slamming impact pressures between the model tests and numerical computations according to the inclined angles on the flat plate model

쐐기형 모델의 경우에는 상대적으로 입수각 즉, 선저경사각이 크기 때문에 평판 모델의 입수 충격문제보다 수치계산이 어렵지 않다. 따라서 본 연구에서는 수치계산기법의 효용성을 판단하기 위해 상대적으로 입수각이 큰 쐐기형 모델을 이용하여 슬래밍 충격압력을 계산하였다. 여기서도, 평판 모델의 입수 충격문제와 마찬가지로 자유수면으로부터 10mm 정도 위에서 입수시켰다.

Fig. 9는 선저경사각 30°인 쐐기형 모델의 모형시험결과(Kim et al., 2014)와 수치계산결과들에서 자유수면의 유동을 보여준다. 쐐기형 모델의 경우에는 평판 모델과는 다르게 쐐기형 모델을 따라 물이 타고 오르는 현상을 확인할 수 있다. 압력의 발생시간이나 감소시간이 상대적으로 평판 모델의 입수 충격문제보다 길 수 있으며, 충격압력 또한 상대적으로 작을 수 있다. Fig. 10을 보면, 충격압력의 발생시간과 감소시간이 Fig. 5 및 7보다 긴 것을 확인할 수 있으며, 슬래밍 충격압력 또한 그 크기가 상대적으로 작은 것을 확인하였다.

Fig. 9 
Comparisons of the free surface flows between the model test and numerical computation on the wedge type model (dead-rise angle = 30°)

Fig. 10 
Comparisons of the time histories of slamming impact pressures between the model test and numerical computation on the wedge type model (dead-rise angle = 30°)

또한 모형시험결과와 본 연구에서의 수치계산결과를 비교하여 보면, 정성적 및 정량적으로 수치계산결과들이 모형시험결과와 근접함을 보인다. 그리고 상대적으로 평판 모델의 입수 충격압력보다 쐐기형 모델의 충격압력 크기가 작기 때문에 수치계산으로부터의 충격압력의 진동현상이 크게 감소함을 확인할 수 있다.

Fig. 11은 상대적으로 선저경사각이 작은 20°의 쐐기형 모델의 입수 충격 시 자유수면의 유동을 보여준다. Fig. 9와 마찬가지로 쐐기형 모델이 입수될 때, 그 형상을 따라 물이 타고 오르는 현상을 확인할 수 있다. 여기서도 마찬가지로 상대적으로 선저경사각이 작지만 자유수면의 유동현상을 보았을 때, 충격압력의 발생시간과 감소시간이 길 것으로 보이며, 그 충격압력 또한 평판 모델의 입수 충격압력보다 작을 것으로 예상된다.

Fig. 11 
Free surface flows on the wedge type model (dead-rise angle = 20°)

실제로 Fig. 12와 같이 충격압력을 보면, 마찬가지로 충격압력의 발생시간과 감소시간이 평판 모델의 입수 충격압력에 비하여 긴 것을 확인할 수 있으며, 그 크기 또한 상대적으로 작은 것을 확인할 수 있다. 이는 평판 모델과 다르게 쐐기형 모델의 입수각이 크게 증가함에 따라, 쐐기형 모델의 경사면을 타고 올라가는 물이 충격압력의 발생시간 및 감소시간을 지연시켜 충격압력이 상대적으로 감소한 것을 확인하였다. 또한 모형시험결과와 수치계산결과들을 비교하여보면, 정성적 및 정량적으로 매우 근접함을 확인할 수 있으며, Fig. 10 및 Fig. 12를 확인하였을 때, 모형시험결과와 본 연구에서의 수치계산결과들의 차이가 약 5% 이내임을 확인하였다.

Fig. 12 
Comparisons of the time histories of slamming impact pressures between the model test and numerical computation on the wedge type model (dead-rise angle = 20°)

일반적으로 슬래밍 현상은 물리적으로 발생하는 시간이 상대적으로 짧은 현상이기에 수치계산의 격자형태 및 시간간격이 슬래밍 충격압력 변화에 민감한 요소로 작용된다. 따라서 본 연구에서는 격자의 종횡비 및 시간간격에 따라 슬래밍 충격압력의 변화를 확인하고, 적절한 Courant 수를 선정하여 수치계산을 수행하는 것이 효율적이라고 판단하였다.

Fig. 13은 격자의 종횡비(dx/dz)와 시간간격에 따른 슬래밍 충격압력 시계열을 비교한 그림이며, 상대적으로 충격압력 변화가 덜 민감한 선저경사각 30°의 쐐기형 모델을 이용하여 수치계산을 수행한 결과 중에서 대표적으로 P1에서의 충격압력을 비교하였다. 먼저, 격자의 종횡비에 따른 충격압력 시계열을 비교한 결과, 격자 종횡비가 1일 경우에 격자 종횡비 2에 비하여 그 충격압력 크기가 상대적으로 작은 것을 확인할 수 있다. 또한 격자 종횡비 3의 경우에는 쐐기형 모델이 자유수면과 충격이 일어난 후 입수 후에도 그 체적의 변화를 제대로 추정하지 못하는 것을 확인하였다. 격자의 종횡비에 따라 그 충격압력 크기가 다른 것은, 유동현상이 미세하게 차이나기 때문으로 사료된다. 따라서 본 연구에서 사용한 격자 종횡비 중, 슬래밍 충격압력 수치계산 시 적절한 격자의 종횡비는 2로 생각된다.

Fig. 13 
Comparisons of the time histories of slamming impact pressures according to the aspect ratios of grids and time stpes (dead-rise angle = 30°)

시간간격에 따른 슬래밍 충격압력 변화를 보면, 시간간격이 상대적으로 작을 경우 충격압력이 크게 발생되며, 시간간격이 상대적으로 큰 경우에는 그 크기가 작아짐을 확인할 수 있다. 본 연구에서의 x 방향 최소격자 크기는 0.004m이며, 각 시간간격에 따른 Courant 수는 시간간격이 1/5000일 때, 0.15, 1/10000일 때, 0.075 그리고 1/20000일 때, 0.0375이다. 따라서 본 연구결과를 보았을 때, 슬래밍 충격압력을 위한 적절한 Courant 수는 0.1부근으로 생각된다.