본 논문에서 선박간의 충돌이란, 조우하는 선박의 원형 충돌 구역(circular collision zone) 내에 타 선박이 존재하는 경우로 정의하며(Park & Kim, 2017), 조우하는 선박의 운동 상태가 지속되었을 때 현재 시점부터 충돌이 일어날 확률을 충돌확률로써 정의한다. 함수 PVO는 현재 운동 상태를 기점으로 자선이 목표한 속력 및 침로로 운동 시에 충돌이 발생할 확률을 의미하며, 자선을 아랫첨자 O로 타선을 아랫첨자 T로 표기 시 자선에 대한 타선의 함수 PVO_OT는 식 (1)과 같다(Kluger & Prassler, 2003).

여기서 ℝ²는 자선의 속도 좌표계를 기준으로 하는 정의역(domain)을 나타내며, PVO_OT는 자선기준 타선에 대한 충돌확률을 의미한다. 일반적으로 타선의 위치 불확실성은 회피 반경을 통해 알고리즘에 쉽게 반영이 가능하나 타선의 속력 및 침로 불확실성은 충돌회피 알고리즘에 미치는 영향은 크나 반영이 어렵다. 또한, 레이다를 통해 얻어지는 타선의 위치는 센서로부터 직접적으로 계측이 가능하지만 속력 및 침로는 계측된 위치로부터 간접적으로 추정되는 정보이다. 타선의 속도 계측치는 위치 계측치에 비하여 불확실성이 크다는 가정하에, PVO_OT는 속도 불확실성을 충돌구역으로 적분한 식 (2)와 같다.

여기서 CC는 속도 좌표계에서의 충돌구역(collision cone)을 의미하며 속도 좌표계에서의 충돌구역은 속도 장애물 이론을 이용하여 계산 가능하다(Fiorini & Shiller, 1998). f_VT(v)는 타선 속도의 확률밀도함수(PDF: Probabilistic Density Function)를 V_T는 타선의 절대 속도 좌표계 기준 확률 변수를 의미한다. PVO_O는 현재 운동 상태에서 이후 속력 및 침로로 운동 시에 자선의 충돌확률을 의미하며, 다수의 조우 선박 존재 시 자선의 PVO_O는 식 (3)과 같다(Kluger & Prassler, 2003).

여기서 PVO_OTi는 i번째 타선의 충돌확률을 의미하며, n은 조우하는 전체 타선의 수를 의미한다.

식 (2)의 자선 목표 침로 및 속력에 따른 충돌확률을 계산하기 위해서, 자선 속도에 대한 타선의 속도좌표계에서의 collision cone기반 충돌구역을 구해야 한다. 속도좌표계에서의 충돌구역은 속도 장애물 이론을 이용하여 계산이 가능하며, 이를 Fig. 1에 도시하였다(Fiorini & Shiller, 1998). Fig.1에서 적색 collision cone은 자선의 속도가 v_O1 일 때의 속도좌표계에서의 충돌구역이며, 청색 collision cone은 자선의 속도가 v_O2 일 때의 속도좌표계에서의 충돌구역이다.

Fig. 1 
Graphical representation of the classical velocity obstacle in the coordinates of the target ship

또한, 식 (2)의 속도분포 f_VT(v)를 이변량 정규 분포(bivariate Gaussian distribution) V_T ~ N(v_T ,Σ_T)로 가정한다면, 식 (2)의 속도 확률 분포 f_VT(v)를 식 (4)로 작성할 수 있다.

여기서 v_T = [v_Tx, v_Ty]^T는 타선의 평균 속도를 의미하며, v_Tx와 v_Ty는 각각 직교좌표계에서의 x와 y방향 속도이다. Σ_T는 확률 변수 V_T의 정규 분포에서의 공분산을 의미한다.

일반적인 이변량 정규 분포의 적분 계산의 경우, 적분구역 또는 공분산의 특이 경우를 제외 하고는 해석해(analytic solution)가 존재하지 않으므로, 이 경우에는 미소면적의 확률 합인 구분구적법을 활용한 계산이 필요하다. 그러나 구분구적법 기반의 적분은 미소면적의 크기에 따라 계산 성능이 크게 변하며 계산시간이 오래 걸린다는 단점이 존재한다.

Fig. 2 
Example of the coordinate transformation by using the affine transformation

위와 같은 단점을 극복하기 위하여, Genz and Bretz (2009)은삼변량과 이변량 정규 분포의 수치해석적(numerical) 근사방법을 활용한 다양한 형상의 적분구간에서의 적분 해를 제시하였다. 정규 분포 적분의 근사해 사용을 위해 Fig. 1와 같은 두 번의 어파인변환(affine transform)을 적용하였으며(Cho et al., 2018), 각 어파인변환은 선형변환(linear transformation)과 평행이동(linear translation)의 합성으로 구성되어 있다.

두 번의 어파인변환 중, 첫 번째 어파인변환은 삼각형의 적분구간을 사각형 형태의 근사가 가능한 형태로 변환하며, 정규 분포를 평균이 0인 정규 분포로 만들기 위하여 속도 분포의 평균을 0으로 이동시키는 평행이동을 실시한다. 첫 번째 적용된 어파인변환을 나타내면 식(5)와 같다.

여기서 A′는 선형변환을 의미하며, b′는 평행이동을 의미한다. θ_l 과 θ_r은 각각 삼각형 형태 적분구간의 꼭지점에서 선분의 방향을 의미한다. 첫 번째 어파인변환 후 확률 변수를 V_T′이라고 할 때, V_T′ ~ N(0, Σ_T′)를 따르며, 공분산 Σ_T′는 A′Σ_T{A′}^T이다. 어파인변환 후 사각형 형태의 적분구간의 꼭지점 v_O′는 A′v_O + b′와 같다.

두 번째 어파인변환은 정규 분포를 표준 정규 분포로 변환하기 위해 수행되며, 선형변환만 이뤄진다. 두 번째 어파인변환을 식으로 나타내면, 아래의 식 (6)과 같다.

여기서 diag()은 매트릭스의 대각 행렬을 의미하며, Σ_T′′는 A′′Σ_T′{A′′}^T이다. 두 번째 변환 후, 확률 변수는 V_T′′ ~ N(0, Σ_T′′)를 따르며 Σ_T′′의 대각성분은 1이 된다. 최종적으로 얻어지는 PVO_OT는 식 (7)과 같다.

단일 PVO_O 계산 알고리즘의 정확도 및 계산 속도는 저자의 선행 연구에서 소개된 바 있으며(Cho et al., 2018), 선행 연구를 바탕으로 본 연구에서 제안하는 알고리즘을 통해 얻어지는 PVO_O맵은 Fig. 3과 Fig. 4와 같다.

Fig. 3은 자선이 한 척의 타 선박과 조우하는 상황에서의 결과를 도시하며, Fig. 4는 자선이 두 척의 타 선박과 동시에 조우하는 상황에서의 결과를 도시한다. 각 그림에서 왼쪽은 각 선박의 위치를 나타내며, 청색은 자선을 적색은 타선을 의미한다. 각 그림에서 우측 그림을 통하여 자선 기준 목표 침로 및 속도에 대한 PVO_O 결과 값을 확인 가능하다.

Fig. 3 
Map of the probability velocity obstacle when single vessel approaches

Fig. 4 
Map of the probability velocity obstacle with multiple approaching vessels

선박 충돌회피를 위해서는 2장에서 제시한 PVO_O를 포함하여 충돌 회피 시 고려되어야 할 요인들을 비용함수로 설계하여 최적 해를 찾아야 한다. 선박 조우상황에서 타선 회피 시 고려되어야 하는 우선적 요인으로는 다음 경유점(waypoint) 및 COLREGs가 있다. 해당 사항을 고려한 비용함수(cost function)는 식 (8)과 같다.

여기서 J는 각 침로 및 선속에 대한 비용(cost)을 의미하며, PVO_O는 식 (3)과 식 (7)을 통해 계산되는 값을, p는 COLREGs 미준수 침로 및 속력에 대한 비용을 의미한다. 또한, α와 β는 경유점 추종 시 침로 및 선속에 대한 가중치(weighting)를 의미한다. 선박의 운동특성상 선속보다는 침로를 변경하는 것이 용이하기 때문에, 선속에 비하여 침로 변경의 가중치를 낮게 설정한다. v_O는 자선의 속력을 ψ_O는 자선의 선수방향을 의미하며, v_WP는 자선의 경유점 추종을 위한 목표 선속을 ψ_WP는 자선의 경유점 추종을 위한 목표 선수 방향을 의미한다. 식 (8)의 비용함수를 만족시키는 침로 및 선속은 식 (9)로 표현가능하다.

Fig. 5는 식 (8)의 비용함수를 그림으로 나타낸 것이다. 그림에서 자색 실선은 PVO_O를 나타내며, 청색 일점 쇄선은 COLREGs를 준수하지 않을 때 부과되는 비용을 나타낸다. 적색 파선은 p와 PVO_O의 합이며, 흑색 실선은 경유점 추종을 위한 비용의 최댓값이다. 경유점 추종을 위한 비용은 0과 0.1사이로 정규화(normalization)하여 사용하며, COLREGs 미준수에 대한 비용은 Fig. 5의 COLREGs penalty parameter를 활용하여, PVO_O에 반비례하게 모델링한다. PVO_O값이 커질수록 COLREGs를 위반하면서라도 충돌을 회피해야하는 의무가 커지기 때문에, COLREGs 미준수에 대한 비용을 PVO_O에 대해 반비례하게 설계하였다.

Fig. 5 
Graphical representation of the cost function

Fig. 6은 COLREGs gap 설명을 위한 정면 조우 상황의 예시이다. 예를 들어, COLREGs penalty parameter는 0.5이고, 정면조우 상황에서 규정 준수 시 충돌확률이 90%라면 80% 이하의 충돌확률을 갖는 규정 미준수 침로와 선속을 목표 선수방향 및 목표 선속으로 설정할 수 있으며, COLREGs gap은 10%이다. 위와 같은 조건에서 규정 준수 시 충돌확률이 70%라면, 40% 이하의 충돌확률을 갖는 규정 미준수 침로와 선속은 목표 선수방향 및 목표 선속으로 설정되며, COLREGs gap은 30%이다. 마지막으로 같은 조건에서, 규정 준수 시 충돌확률이 50% 미만이라면, 규정을 지키는 침로와 선속을 목표 선수방향 및 목표 선속으로 설정한다. 따라서 COLREGs penalty parameter에 따라 COLREGs gap이 바뀌며, COLREGs 준수도는 COLREGs penalty parameter가 커지면, COLREGs를 준수하려는 경향이 커지며, parameter가 작아지면, COLREGs를 준수하려는 경향이 작아지나, 위험을 회피하려는 경향이 커진다.

Fig. 6 
Example of how the COLREGs gap works in the head-on situation

제안하는 알고리즘의 성능 검증을 위한 시뮬레이션을 위하여 ROS(Robot Operating System) gazebo 기반의 시뮬레이터 상에서(Koenig & Howard, 2004), Clearpath사의 Kingfisher무인선 모델을 활용한 수치 시뮬레이션을 수행하였다. 무인선은 미리 할당된 두 개의 경유점을 왕복하도록 시뮬레이션을 진행하였으며 두 대의 무인선은 남북으로, 한 대의 무인선은 동서로 왕복 하게끔 설정하였다. 남북으로 왕복하는 두 대의 무인선 중 한 대는 제안하는 알고리즘인 확률적 속도 장애물 기반의 알고리즘을 사용하며, 나머지 두 대의 무인선은 불확실 속도 장애물 기반의 알고리즘을 사용한다. 제안하는 알고리즘을 사용하는 무인선은 다른 남북 왕복 선박과 추월 및 전방 조우하며, 동서 왕복 선박과 교차한다. 각 선박에서 다른 선박의 위치는 칼만필터 기반의 추적필터를 사용하여 추정하며, 추적필터에서 추정되는 위치 및 불확실성을 활용하여, 확률적 속도 장애물 및 불확실 속도 장애물 기반 충돌회피를 수행한다. 시뮬레이션 설정 및 그림은 Fig. 7과 Table 1과 같다.

Fig. 7 
Ship traffic simulation for the automatic collision avoidance

Fig. 8은 시뮬레이션 동안 자선과 타선과의 상대거리를 도시한다. 청색 실선은 남북 왕복 선박과의 상대거리이며, 적색 파선은 동서 왕복 선박과의 상대거리이다. 시뮬레이션 간 남북 왕복 선박과의 조우는 46회 발생하였으며, 동서 왕복 선박과의 조우는 28회 발생하였다. 결과에서 충돌회피 시 설정 된 회피 반경보다 가까워지는 경우는 1회 발생하였으며, 13.5 m의 상대거리를 나타냈다.

Fig. 8 
Relative distance between ships

Fig. 9는 시뮬레이션 결과를 도시한다. 각 결과에서 청색 실선은 자선의 항적을 적색 파선은 타선의 항적을 나타낸다. 선박 주위의 원은 선박의 회피 반경을 의미하며, 흑색 파선은 경유점 및 경로를 의미한다. Fig. 9(a)는 단일 선박과 추월 조우 상황이며, 규정 상 추월상황에서 추월선은 우선권이 없기 때문에, 침로를 양보해야 하며 앞서가는 선박은 침로 유지선이기 때문에 규정에 의하여 침로를 유지해야 한다. 해당 조우 상황에서 자선이 앞서가는 선박의 침로를 회피하여 앞서가는 것을 확인할 수 있다. Fig. 9(b)는 정면 조우 상황이며, 정면 조우 상황에서 두 선박은 규정에 의하여 침로를 우현으로 변경해야 한다. 해당 조우 상황에서 정면 조우하는 선박에 대하여 자선이 침로를 우현으로 변경하여 회피 하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 9(c)와 Fig. 9(d)는 다수의 선박이 조우하는 상황이다. 해당 상황에서 자선은 우현과 정면에서 조우하는 선박에 대하여 규정에 의하여 우현으로 침로를 변경해야 한다. 자선은 두 대의 선박을 동시에 회피하기 위하여, 우현으로 침로를 변경하여 회피하는 것을 확인 가능하다.

Fig. 9 
Results of the collision avoidance algorithm