상단과 하단이 다르게 동요하는 조파판에 의하여 발생하는 파도의 파고를 나타내는 식(19)의 첫 번째 항을 살펴보자. 첫 번째 항에서 파의 전파특성을 나타내는 성분 cos(kux-σut-αu)와 스트로크 Su를 제외한 나머지 부분은 물의 깊이와 조파판의 설치위치 그리고 파수로 결정되는 상수항으로 조파판 상단의 스트로크와 파고 사이의 전달함수가 된다. 식(17)에 ku=k, zu=0, zd=h-l 등을 대입하면 식(20)이 얻어진다. 이는 스트로크 Su로 동요하는 일부가 잠긴 플랩 조파기에 대한 Hyun(1976) 및 Kwon et al.(2017B)의 해와 같다.

식(19)의 두 번째 항에 대하여서도 같은 조건을 식(18) 에 적용하면 식(21)이 얻어지는데 이는 상단에 힌지가 있고 하단이 스트로크 Sd로 동요하는 조파판에 대한 Kwon et al.(2017B)의 결과와 일치한다.

다른 한편으로 조파판의 상단동요에 따르는 파형과 하단동요로 인하여 얻어지는 파형을 합성하여 상단과 하단이 독립적으로 작동하는 조파판이 형성하는 파형을 얻을 수 있다. 따라서 식(17)과 식(18)을 사용하면 조파판이 형성하는 파고는 식(22)으로 표현되고 파고–스트로크 비 H/S는 식(23)으로 나타낼 수 있다. 상단과 하단의 스트로크가 다른 조파판이 식(22)와 식(23)을 만족하려면 전체 조파판의 스트로크는 식(24)로 표현할 수 있다.

따라서, 식(23)에 식(17)과 식(18)을 이용하여 상단과 하단 각각의 스트로크 비를 넣고 정리하면 식(25)과 같이 표현할 수 있다. 이 식은 파고와 식(24)으로 표현된 전체 조파판의 스트로크와의 비로 표현한 것으로, 상단과 하단이 서로 다르게 움직이고 있을 때의 파고-스트로크 비가 어떤 인자들에 의하여 결정되는지를 쉽게 파악할 수 있는 특징이 있다.

일반적인 조파판은 상단이 노출되어 있으므로 물에 잠긴 부분에 대한 수중운동은 Fig. 2에서 보인 것과 같이 나타낼 수 있다. 위의 조파판 운동은 하단이 힌지로 고정되고 상단이 Su로 동요하는 성분과 상단이 힌지로 고정되어 하단이 Sd로 동요하는 성분으로 나누어진다. 특수한 경우로서 피스톤 조파기일 때는 S=Su=Sd의 관계가 성립하며 k=kd=ku로 표현할 수 있으므로, 식(25)에 포함된 cosh항이 소멸하여 Kwon et al.(2017B)의 결과와 같이 식(26)으로 간략하게 표시된다.

Fig. 2 
Partly submerged wave board

수심이 일정한 실험실에서는 수심과 파수를 곱하여 얻어지는 무차원 파수인 kh 값과 H/S, Hu/Su, Hd/Sd 등으로 표시되는 파고-스트로크 비의 관계를 조사한 것이 Fig. 3이다.

Fig. 3 
Wave height-to-stroke-ratio of Piston type wave board and flap type wave board

이 결과로부터 특정 무차원 파수에서의 조파판의 피스톤 운동으로 얻어지는 파고-스트로크 비는 하단힌지 조파판이 플랩 운동할 때의 파고-스트로크 비와 상단힌지 조파판이 플랩 운동할 때의 파고-스트로크 비의 합이 되는 것을 확인할 수 있다.

실험실에서 파도 발생을 목적으로 사용하고 있는 조파판을 보면 수면으로부터 바닥까지 전체에 걸쳐 조파판을 설치하기도 하지만 대부분의 수면 근처의 일정 깊이까지만 조파판을 설치하고 있다. 조파판을 구성하는 판 요소가 수면으로부터 잠기는 깊이에 따라 발생 파고에 미치는 영향을 알아보기 위하여 판 요소의 길이(zu-zd)가 수심의 20% 정도(0.2h)인 조파판 요소에 대하여 계산을 수행하였다. 조파판 요소가 잠기는 깊이 (zd-zu)/2를 h로 무차원화하고 무차원 깊이가 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9인 5가지 경우를 대상으로 하였다. 즉 상단이 수면과 일치하는 판 요소로부터 잠기는 깊이를 수심의 20%씩 증가시켜 판 요소의 하면이 수조 바닥과 일치할 때까지 잠기는 깊이를 바꾸어가며 계산을 수행하여 Fig. 4에 종합하여 표기하였다.

Fig. 4 
Submergence effect of wave board segment

Fig. 4를 살펴보면 조파판 구성요소가 수면으로부터 잠기는 깊이가 증가하면 할수록 파고-스트로크 비가 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 또한, 조파판의 힌지 점이 수조 바닥에 있고 위쪽 부분이 플랩 운동할 때의 파고-스트로크 비를 나타낸 Fig. 4의 제일 위쪽 결과와 그다음에 표시한 조파판의 힌지 점이 자유 수면상에 있고 아래쪽이 플랩 운동을 일으킬 때의 파고-스트로크 비를 합하여주면 제일 아래쪽에 표시된 피스톤 운동으로 인한 파고-스트로크 비가 얻어지는 것을 확인할 수 있다. 다른 한편으로 피스톤 운동을 하는 조파판이 수면으로부터 수조 바닥까지 설치되었을 때는 조파판의 상단과 하단을 zu=0, zd=h로 표시할 수 있다. 조파판의 상단을 부분 절단하여 조파판 상단이 zu만큼 수중에 잠기도록 바꾸어 zu/h가 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 인 5가지 경우에 대하여 무차원 파수의 변화에 대한 파고-스트로크 비를 계산하고 Fig. 5의 위쪽에 보이었다. 그리고 조파판의 하단 부분을 절단하여 조파판이 zd보다 아래쪽으로는 조파판을 개방하여 zd/h가 1.0, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2인 다섯 가지 경우에 대하여 계산하여 무차원 파수의 변화에 대한 파고-스트로크 비를 Fig. 5의 아래쪽에 나타내었다.

Fig. 5 
Submergence effect of piston type wave board on wave height-stroke ratio vs kh

Fig. 4에 높이가 수심의 20%이고 잠기는 깊이에 따른 파고-스트로크 비를 무차원 파수 kh에 대하여 조사하였다. 따라서 피스톤 조파판을 예로 들면 Fig. 4의 아래쪽에 있는 피스톤 운동을 하는 수중 조파판들을 서로 연결하면 수면으로부터 바닥까지 설치된 피스톤 조파판의 상단 또는 하단 일부를 제거하고 직접 계산한 Fig. 5의 결과를 나타낼 수 있다. Fig. 4의 판 요소들에 대한 무차원 파수의 변화에 대한 파고-스트로크 비를 계산한 결과들을 합산하여 단일 조파판으로 직접 계산한 Fig. 5의 결과를 얻을 수 있다.

조파판의 상단과 하단의 동요 파수 변화가 파형에 미치는 영향을 알아보기 위하여 Fig. 2에 표기된 것과 같이 수심의 50%까지 잠겨있는 조파판을 대상으로 선정하였다. 파수 변화의 영향을 조사하기 위하여 상단과 하단이 동일한 스트로크와 동일한 파수로 운전하는 상태 즉 피스톤 조파판으로 운전하는 경우를 비교의 기준으로 하였다. 피스톤 조파판의 무차원 파수가 kh≅ 1.0일 때를 계산 대상으로 선정하였다. 그리고 장차 실험하는 경우를 고려하여 단면의 폭이 400mm이고 수심이 250mm인 이차원 수조를 대상으로 하였다. 계산 편의상 x=0이고 αu=αd=0인 경우를 비교검토의 대상으로 하였다.

식(15)에 식(17)과 식(18)을 대입하면 원하는 파형을 구할 수 있다. 여기서 파수와 주파수, 파장과 파주기 그리고 전파속도 사이에는 식(27)의 관계가 성립된다.

위의 관계를 생각하면 주파수 변화의 영향, 파장 변화의 영향, 파 전파속도 변화의 영향에 대하여서도 표기를 바꾸고 계산하는 것으로 검토할 수 있다.

조파판이 Table 1에 보인 것과 같이 조파판의 상단과 하단이 세 가지 서로 다른 조건으로 운동을 일으켰을 때 파형을 계산하고, 계산 결과를 Fig. 6에 나타내었다.

Fig. 6 
Effect of the variation of dual mode oscillation on generated wave profile

Table 1Table 1에 보인 바와 같이 피스톤형 조파기를 운전하여 형성되는 파장이 1.5 m인 파도를 비교계산의 기준으로 설정하였다. Fig. 6에서 확인할 수 있는 바와 같이 조파판의 동요 특성을 같이하며 피스톤 조파기로 운전하였을 때는 규칙파가 얻어진다.

이에 대하여 상단 또는 하단의 동요특성을 바꾸어 파장이 1.125m인 파도가 발생하도록 운전하면 상단동요에 의한 파도와 하단동요로 인하여 발생하는 파형이 바뀌므로 이들 파형의 합성으로 Fig. 6과 같이 맥놀이 현상을 일으키며 변화되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 조파판 상단의 동요 특성과 하단의 동요 특성을 독립적으로 제어하는 조파기를 활용하면 보다 많은 성분 파를 발생시킬 수 있어서 불규칙 파의 특성을 보다 확실하게 생성시킬 수 있을 것으로 기대할 수 있다.

조파판 상단과 하단의 횡 동요 운동이 위상 차이가 있을 때는 상단 운동으로 발생한 파형과 하단의 운동으로 인하여 발생한 파형에도 변화가 나타난다. 즉 성분 파형을 합성한 식(15)에서 위상차가 αu≠ αd이면 위상차의 영향이 파형에 나타난다. 예컨대 αu=0이고 αd=0, 0.5π, π, 1.5π일 때는 식(15)는 식(28), 식(29), 식(30) and 식 (31)로 바뀌게 된다. Fig. 2에 주어진 조파판에서 상단과 하단의 횡 동요 운동의 위상차가 파형에 미치는 영향을 계산하여 Fig. 7에 비교하였다.

Fig. 7 
Effect of phase lag of the dual mode oscillation

조파판이 피스톤 운동하는 경우를 Fig. 7의 곡선 중에서 가장 위의 곡선으로 나타내었다. 위에서 두 번째 곡선은 위상차가 0.5π인 경우이고, 세 번째 곡선은 위상차가 π인 경우이며, 제일 아래쪽의 곡선은 위상차가 1.5π인 경우이다. 이들 곡선을 살펴보면 조파판 상단동요와 하단동요의 위상차에 따라서 파형의 변화와 파형의 위상이동이 생기는 것을 확인할 수 있다. 위상차가 0.5π일 때는 파정이 전방으로 옮겨지고 1.5π인 경우에는 파정이 후방으로 옮겨지며 파고가 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 그리고 위상차가 π일 때는 역 위상이 되므로 파고가 상쇄되어 조파판이 운동하더라도 발생 파형 대부분이 소멸하는 것이 나타났다. 수치계산 예에서는 무차원파수 kh=1.0472일 때 Hu/Su=0.3041이고 Hd/Sd=0.2713이므로 (Hu/Su)/(Hd/Sd) ≈ 1.1가 되어 상쇄 효과가 크게 나타난다. 그런데 kh=4.0인 경우를 생각하면 (Hu/Su)/(Hd/Sd) ≈ 3.0정도가 되어 상쇄 효과가 크게 줄어들며 kh가 커질수록 감쇄효과는 줄어들게 된다.

조파판의 운동으로 발생하는 파도의 파고는 식 (19)와 같이 표시되고 식(3)과 식(4)의 관계를 사용하여 계산할 수 있다. 즉, 조파판 운동으로 인한 파형은 식(19)에 표시한 바와 같이 조파판 하단을 힌지 점으로 플랩 운동할 때의 파형인 첫 번째 항과 상단을 힌지 점으로 조파판이 그네 운동을 할 때의 파형을 나타내는 두 번째 항의 합으로 나타내진다. 이들 두 개의 항은 서로 켤레를 이루는 식(17)과 식(18)을 사용하여 계산되는 항으로 스트로크에 비례하여 변한다. 따라서 조파판 하단의 스트로크가 줄어들면 하단 운동으로 발생하는 파형도 스트로크에 비례하여 줄어들어 하단 부분의 스트로크가 없어지면 피스톤 조파기는 하단에 힌지 점이 있는 통상의 플랩 조파기 문제가 된다. 특수한 경우로서 조파기의 상・하단 스트로크가 역 위상일 때는 식(32)과 같이 조파판 중간 위치에 스트로크가 0인 가상의 힌지 점이 나타난다.

Fig. 6와 Fig. 7Fig. 7에 표기된 계산 예와 같은 피스톤 조파판 상단과 하단의 조화 왕복운동이 π 만큼의 위상차를 가질 때 하단 스트로크의 값이 상단의 스트로크 값의 1.0, 0.6667, 0.3333, 0.0 배가 되는 네 가지 경우에 대하여 계산한 결과를 Fig. 8에 나타내었다.

Fig. 8 
Wave profile vs variation of lower end stroke of wave board with 180° phase lag

계산에서는 조파판이 zu=0, zd=0.125로 직립 상태에서 스트로크를 Su=Sd=0.115로 피스톤 운동으로 작동하는 상태를 표준으로 하였다. 따라서 Su/(Su+Sd)가 1.0, 0.75, 0.6, 0.5인 경우를 식(32)에 대입하면 가상의 힌지 점 위치의 zh/zd는 0.125, 0.09375, 0.075, 0.0625에 해당한다.

이상에서는 조파판의 이론 해에서 하단 스트로크를 변화시키는데 따르는 파형의 변화를 살펴보았다. 이론 해에서 켤레를 이루는 상단의 스트로크를 변화시켜주면 Fig. 3에 주어진 바와 같이 상단동요 경우와 하단동요 경우에 파고-스트로크 비가 달라지는데 따른 영향이 나타날 뿐이며 유사한 성향의 변화가 일어나는 것을 쉽게 유추할 수 있다.