Stokes 감쇠항을 고려한 무차원의 개선된 부시네스크 방정식은 아래와 같다 (Wang & Xu, 2013; Wang et al., 2013; Lu et al., 2016).

여기서, η′(x′, t′)는 무차원 파고 함수, 아래 첨자 x′과 t′은 각각 공간 및 시간 편미분, ν_S는 무차원 Stokes 감쇠 계수이다. 이때, Stokes 감쇠는 자유수면 상의 에너지 소실에 의한 감쇠이다. 예를 들어, 자유수면 상에 얇은 유막이 있으면 자유수면 상에서의 접선 응력이 자유수면 내에서의 응력보다 커지면 그 차이로 인해 소실이 발생하는데 (Debnath, 1994), 이를 물리적으로 고려하기 위해 감쇠가 파의 속도에 비례하는 Stokes 감쇠항(Arévalo et al., 2002; Wang & Xu, 2013)을 본 연구에 이용한다.

이제 무차원 지배방정식 (1)을 물리 차원의 식으로 변환하기 위한 무차원-물리 차원 관계식은 아래와 같다.

여기서, h₀는 수심(m), g는 중력가속도(9.80665m/s²)이다. 이에 따라 식 (1)을 물리 차원의 식으로 변환한다 (Park, 2020).

여기서, c₀는 특성속도=gh0, δ_S는 물리 차원의 Stokes 감쇠 계수=νS3g/h0이다. 이때, δ_S＝0인 경우, 비감쇠의 개선된 부시네스크 방정식과 동일하다 (El-Zoheiry, 2002; Lin et al., 2009; Zhang & Lu, 2012; Wang et al., 2014; Jang, 2017). 그리고 초기 조건은 다음과 같다.

또한 경계조건으로 수직 벽면에서는 반사 조건, 벽면에서 먼 부분은 무한 원방 조건을 사용한다.

함수반복법(Jang, 2017; Jang, 2018)을 적용하기 위해 미분방정식 (3)을 등가의 적분방정식으로 변환한다. 우선, 식 (3)의 양변에 가상 파라메터(pseudo-parameter) β (rad/s²)를 포함하는 가상 항(pseudo term) β⦁η를 더하면 다음과 같다.

여기서, 우변의 외력항 Φ(x,t)는 다음과 같다:

이제 식 (5)는 다음과 같이 등가의 적분방정식 형태로 변환할 수 있다 (Jang, 2017; Jang, 2018).

여기서, 커널(kernel) 함수 G⁽ⁱ⁾, i＝１,２,３은 다음과 같다:

여기서, 파 주파수 ω_B (k)는 다음과 같다:

이제 함수반복법을 구성하기에 앞서 새로운 변수 X_j, j＝1,2,3,4와 벡터변수 X를 정의한다.

이에 따라 식 (7)을 포함하는 총 4개의 연성된 적분방정식을 구성할 수 있다 (Jang, 2017; Jang, 2018).

여기서, 식 (6)의 Φ는 식 (12)의 정의에 따라 다음과 같다:

이때, 함수반복법은 비선형 편미분 방정식 (3)의 미분항을 약정식화(weak formulation) 혹은 선형화하지 않고 그대로 사용한다. 식 (14)-(16)의 커널 함수 G_t, G_x, G_xx는 각각 식 (8)-(10)을 편미분하여 얻는다.

식 (13)-(16)을 좀 더 체계적으로 나타내기 위해 적분연산자 D_i, i=1,2,3,4와 초기 조건 η₀≡(η_１, η_２)를 정의하여 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

Jang (2017)은 식 (18)로부터 함수반복법을 제안하였다.

여기서, n＝１,２,… 은 반복 횟수를 의미하며, 반복 초기치는 X⁰≡0이다.

또한 Jang (2018)은 두 번째 가상 파라메터 λ (>0)를 도입하여, 아래와 같이 식 (19)의 수렴성을 개선한 함수반복법을 제안하였다.

Park (2020)은 해의 빠른 수렴을 위해 식 (20)의 가상 파라메터 λ를 반복해 X1n의 오차에 따라 가변적으로 사용하였다. 오차는 다음과 같이 정의한다.

여기서, ||·||₂는 유클리드 노름(Euclid norm)이다. 본 연구에서도 가변 가상 파라메터 λ_var를 설정하여 수치해석에 사용한다(Fig. 2a).

그리고 본 연구에서는 허용오차를 ε_tol = 10^-6으로 설정하고 반복법의 종료 기준(stopping rule)을 만족하는 반복 횟수 n에서의 해를 수렴 해로 사용한다.

Fig. 1은 본 연구의 개략도를 나타낸다. 수심이 h₀로 일정한 수로에서 초기 위치 x＝x₀에 초기 진폭이 a₀인 고립파가 출발하여 x＝0에 있는 수직 벽면에 충돌한 후 x＝x₀으로 되돌아온 반사파의 진폭을 a_T라 한다. ν_S는 식 (1)에서 정의된 무차원 Stokes 감쇠 계수, 측정된 반사파의 진폭 a_T와 주어진 초기 진폭 a₀의 비를 a_T/a₀라 하면, 반사파의 진폭 감쇠율(amplitude attenuation ratio) r을 다음과 같이 정의한다.

Fig. 1 
Definition sketch

본 연구에서는 무차원 Stokes 감쇠 계수 ν_S에 따라 초기 진폭 a_T/h₀와 초기 위치 x₀/h₀를 변화하면서 진폭 감쇠율 r에 대한 영향을 조사한다.

수치해석에 사용한 고립파 초기 조건은 다음과 같다.

여기서, 계수 K와 파속 c는 다음과 같다:

본 연구에서 모든 수치해석의 공간 계산 영역은 0≤x≤30 ｍ, 격자 간격은 ∆x= 0.1 ｍ, 수심은 h₀＝0.5 m로 일정하다. 반면에 시간 계산 영역은 고립파의 초기 위치 x₀에 따라 달리하여 사용한다. 즉, x₀＝10 ｍ일 때, 0≤t≤9ｓ, x₀＝15 ｍ일 때, 0≤t≤13.5ｓ, x₀＝20 ｍ일 때, 0≤t≤18ｓ이며 격자 간격은 ∆t= 0.1ｓ로 일정하다. 그리고 가상 파라메터 β는 Jang (2017)의 연구에서 낮은 오차의 반복해를 도출하는 범위가 0.1rad/s²≤β≤1.0 rad/s²임을 참고하여 0.2 rad/s²로 설정하고, 식 (22)의 가변 가상 파라메터를 사용한다. 그리고 모든 수치해석 결과는 수조 시험에서 역학적 상사 관계를 성립하기 위해 일반적으로 사용하는 무차원 관계 (Madsen, 1970; Kim & Oh, 2021), 즉, 파고는 η/h₀, 공간은 x/h₀, 시간은 tgh0으로 나타낸다.

Table 1은 무차원의 수치해석 변수인 초기 진폭 a₀/h₀, 초기 위치 x₀/h₀ 및 Stokes 감쇠 계수 ν_s에 따라 수행한 몇 가지 수치해석 결과로부터 측정한 진폭 감쇠비 a_T/a₀와 진폭 감쇠율 r을 나타낸다.

Fig. 2(a)는 Table 1, No. 21의 수치해석 결과이며, 반복 횟수 n에 따른 식 (21)의 오차 ε(n)과 식 (23)의 종료 기준을 나타낸다. 특히, Fig. 2(a)에서 오차에 따라 λ_var이 커질수록 수렴 속도가 빨라짐을 확인할 수 있다. 그리고 Fig. 2(b)는 종료 기준을 만족하는 n＝37에서의 수치해를 나타낸다.

Fig. 2 
Functional iteration solution: Table 1, No. 21

이제, 함수반복법을 부시네스크 방정식의 해법에 적용하여 얻은 수치해의 타당성을 확인하기 위해 Wang et al. (2013)이 제안한 2차 유한체적요소법(quadratic finite volume elementmethod, qFVEM)을 도입한다. Wang et al. (2013)은 시간 미분항에 3차 three-stage 법을 사용하나, 본 연구는 일반적인 4차 Runge-Kutta 법을 사용한다.

Fig. 3(a)는 Table 1, No. 4의 함수반복법의 해 η와 2차 유한체적요소법의 해 η_qFVEM을 수직 벽면 충돌 전후의 시간별 파형으로 서로 비교하여 나타낸 것이다. 이때, η의 경우, 종료 기준식 (23)을 만족하는 반복 횟수는 n＝52이다. 또한, Fig. 3(b)는 Table 1, No. 21의 수치해 η와 η_qFVEM을 시간 파형별로 비교한다. Fig. 3의 시간별 파형 비교를 통해 두 해법의 결과가 비교적 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 그리고 Fig. 3의 두 가지 수치해의 오차를 비교하기 위해 다음을 정의한다.

Fig. 3 
Comparison of the wave profiles: η vs. η_qFVEM

Fig. 4는 Fig. 3의 η와 η_qFVEM의 각 시간별(Δt＝0.1ｓ) 오차를 공간영역 0≤x/h₀≤40에서 계산하여 나타낸 것이다. 그 결과 최대 오차는 0.006 이하로 비교적 잘 일치하므로 함수반복법이 타당함을 확인할 수 있다.

Fig. 4 
Error of Fig. 3: a₀／h₀＝0.1

Fig. 5는 각각 Table 1의 No. 4와 No. 21의 수치해석 결과로부터 초기 위치 x₀/h₀＝20, 30에서 측정한 초기 진폭비 a₀/h₀와 반사파의 진폭비 a_T/h₀를 나타낸다. Fig. 5(a)의 경우, Fig. 5(b)보다 수직 벽면에서 먼 초기 위치에서 출발하여 초기 위치로 다시 돌아오기까지 더 먼 거리를 전파하였음에도 작은 감쇠 ν_S를 사용하였으므로 진폭의 감쇠율이 r＝0.0066 (＝1−a_T/a₀)로 작다. 후자의 경우, 가까운 초기 위치에서 출발하여 전파 거리가 짧음에도 불구하고 큰 Stokes 감쇠로 인해 진폭의 감쇠율이 오히려 r＝0.2352로 더 크다. 이처럼 Stokes 감쇠의 크기에 따라 반사파의 진폭 감쇠율에 지배적인 영향을 주는 변수가 달라질 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 5 
Measuring the amplitude of the reflective wave: a₀／h₀＝0.1

Fig. 6은 Table 1의 No. 1-6과 No. 21-26의 수치해석 결과로서 각각 Stokes 감쇠 계수를 고정한 후 (ν_s＝10^-4, 10^-2), 초기 위치 (x₀／h₀＝20, 30)와 초기 진폭(a₀／h₀ = 0.1, 0.2, 0.3)에 따른 진폭 감쇠율 r을 나타낸다. 작은 Stokes 감쇠 계수를 사용한 Fig. 6(a)는 초기 진폭이 클수록 진폭 감쇠율이 감소하는 경향을 보이며, 초기 위치에 대해서는 뚜렷한 차이를 보이지 않는다. 일반적으로 작은 진폭의 고립파는 그 폭이 크므로 파와 벽면의 상호작용이 좀 더 긴 시간 동안 일어난다 (Cooker et al., 1997). 이에 따라 Fig. 6(a)와 같이 초기 진폭이 작을수록 파의 벽면에서의 상주시간(residence time)이 길어져 반사파의 감쇠율이 더 큰 것이다. 반면에 Stokes 감쇠 계수가 큰 Fig. 6(b)의 경우, 파의 감쇠율이 초기 진폭보다 주로 초기 위치에 지배적인 영향을 받음을 알 수 있다.

Fig. 6 
Amplitude attenuation ratio r dependent on the initial amplitude a₀／h₀

Fig. 7(a)는 Table 1의 No. 1, 4, 7과 No. 2, 5, 8의 작은 Stokes 감쇠 계수일 때 수치해석 결과이다. 이 경우, 벽면에서 먼 초기 위치일수록 파의 감쇠율이 크며, Fig. 6(a)와 같이 초기 진폭이 클수록 반사파의 감쇠가 작다. 그리고 Fig. 7(b)는 Stokes 감쇠 계수가 큰 Table 1의 No. 21, 24, 27과 No. 22, 25, 28을 나타내며, 큰 감쇠 계수일 때는 초기 진폭에 비해 초기 위치가 감쇠율에 지배적 영향을 미침을 알 수 있다.

Fig. 7 
Amplitude attenuation ratio r dependent on initial position x₀／h₀

Fig. 8은 각각 초기 위치를 x₀／h₀＝20, 40으로 고정하고 초기 진폭에 따른 Stokes 감쇠의 영향을 나타낸다. Fig. 8(a)는 Table 1의 No. 1, 9, 13, 17, 21와 No. 2, 10, 14, 18, 22를 Fig. 8(b)는 No. 7, 11, 15, 19, 27과 No. 8, 12, 16, 20, 28을 각각 나타낸다. 각각의 결과로부터 ν_s＝10^-4일 때, 감쇠율이 0.0084 이하로 작으며, ν_s＝10^-3인 경우, 초기 위치 x₀／h₀＝20에서 감쇠율이 약 0.03, x₀／h₀＝40에서 약 0.06이다. 그리고 ν_s＝10^-2일 때, x₀／h₀＝20에서 감쇠율이 약 0.24, x₀／h₀＝40에서 약 0.47이다. 따라서 같은 초기 위치에서는 초기 진폭보다 Stokes 감쇠가 반사파의 감쇠율에 지배적인 영향을 미쳤다.

Fig. 8 
Amplitude attenuation ratio r dependent on the Stokes damping coefficient ν_S