선박의 수평면 상 3자유도 조종운동을 표현하는 좌표계와 방정식은 각각 Fig. 3, 식 (1) 과 같다. Fig. 3에서 O₀-X₀Y₀는 지구고정좌표계이며, O-XY는 원점을 선박의 midship과 centerline의 교점에 둔 선박고정좌표계이다.

Fig. 3 
Coordinates system

식 (1)의 우변은 외력이고 아래첨자 H, P, R은 각각 선체력, 추력, 타력을 의미한다. 본 연구에서는 선박 조종운동 시뮬레이션을 위하여 각 외력항을 식 (2)~(4)와 같이 기술한다.

식 (2)의 R은 대상선의 저항이다.

식 (3)에서 t는 추력감소계수, ρ는 유체 밀도, n과 D는 각각 프로펠러 회전수와 직경이다. K_T는 추력계수이며 전진비 J_P에 대한 함수이다. w_p는 프로펠러 위치의 반류계수이다.

식 (4)에서 t_R은 조타에 의한 저항감소, a_H, x_H는 각각 선체 간섭에 의한 타 횡력 증가, 타 횡력의 작용점 위치 변화를 나타낸다. F_N은 타직압력, A_R은 타면적, fα는 타직압력계수, α_R은 타유입각이다. u_R과 v_R은 타에 유입되는 X, Y방향 속도이다. ε는 프로펠러와 타 위치의 반류계수 비 (=(1-w_R)/(1-w_P)), κ는 u_R 수식화를 위한 실험상수, η는 프로펠러 직경의 타 스팬에 대한 비이다. γ_R은 선체에 의한 정류효과계수이다. l_R은 타의 횡방향 유입속도 중 선체 선회의 영향을 나타내며, 대체로 2x_R(x_R은 타의 X좌표)로 근사한다. u_P, v_P는 프로펠러에 유입되는 X, Y방향 속도이다. 조종 거동 중에 반류계수 w_P의 변화는 직진 중 반류계수 w_p0에 지수함수가 곱해진 형태로 표현할 수 있으며, 지수함수 내에 보정계수 C_P가 포함된다. x_P는 프로펠러의 X좌표이다.

실제 조종운동방정식을 풀 때 모든 미계수와 상태변수는 무차원화하여 다루며, 위 식 (1)~(4)에서는 편의상 무차원 표기(′)를 생략하였다. 무차원화 방법은 식 (5)와 같다.

시뮬레이션 대상선형은 공시선형인 KVLCC2이며 SIMMAN 2020 Workshop 웹사이트(SIMMAN, 2020)에 구속 및 자유항주 모형시험 결과가 공개된 바 있다. Case 1.1, Case 1.2로 분류된 현대중공업(HMRI)의 구속시험, MARIN의 자유항주시험에서 사용된 대상선 제원은 Table 1과 같다.

실선과 각 모형선의 방형계수는 0.81, 길이방향 부력중심(LCB)는 midship에서 선수방향으로 수선간길이의 +3.48 %에 위치한다. 타각속도는 실선 기준 2.32 °/sec이다.

유체력 미계수 추정 및 조종 시뮬레이션을 수행할 때, 저항시험 결과가 있다면 이를 활용하여 정확도를 개선할 수 있다. 현대중공업의 구속시험 중에 저항시험, 프로펠러 단독성능시험이 포함되므로 이후 본문에서는 6.893 m KVLCC2를 대상으로 조종시뮬레이션을 수행하였다. 한편 MARIN 자유항주시험의 모형선 길이는 7.0 m이다. 스케일이 다를 경우 Reynolds 수 차이에 의한 마찰저항계수 차이와 그로 인한 자항점 변화가 예상되지만, 두 모형선의 길이가 유사하여 자항점 변화에 의한 유동 차이는 미미할 것으로 판단된다. 실제로 설계속도를 위한 모형선 자항점은 6.893 m 모형선 시뮬레이션에서 10.13 RPS, 7.0 m 모형선의 자유항주시험에서 10.33 RPS 로 유사하였다. 따라서 7.0 m 모형선의 자유항주시험 결과를 축척비만 고려하여 6.893 m 모형선 결과로 축소한 후 시뮬레이션 검증에 활용하였다.

대상선의 주요 제원을 활용하여 자체 경험식 기반으로 Table 2와 같이 미계수를 추정한 후 조종시뮬레이션을 수행하였다. 경험식 만으로 추정된 미계수이므로 구속시험 등에 의한 정밀 분석 결과와는 차이가 있을 수 있다. IMO 표준조종시험인 35° 우현 선회, 20°/20° 우현 지그재그의 시뮬레이션을 수행하고, MARIN 자유항주시험 결과와 비교하면 Table 3과 같다. 각 조종성능지수의 선별 과정은 다음 장에서 구체적으로 설명하기로 한다.

Fig. 3과 Fig. 4에 선회, 지그재그 시뮬레이션 궤적 및 타각, 선속, 편류각, 선회율 시계열을 그래프로 나타내었다. 자유항주시험에 비하여 경험식 기반 시뮬레이션의 선회직경이 작고, 지그재그 소요시간이 다소 긴 특성을 보인다.

Fig. 4 
35° starboard turn simulation based on empirical formula

Fig. 5 
20°/20° starboard zig-zag simulation based on empirical formula

자유항주시험 궤적 및 속도의 모든 이력을 대상으로 시뮬레이션을 보정할 수도 있다. 하지만 실용적으로는 잘 알려진 몇 가지의 조종성능지수만을 대상으로 시뮬레이션과 자유항주시험을 비교하면서 시뮬레이션 내 유체력 미계수를 반복적으로 보정해 가는 것이 편리하다. IMO 조종성능기준에서는 선회시험의 전진거리와 전술직경, 지그재그시험의 1, 2차 오버슈트각에 대한 기준이 제시되어 있다. Table 4 에 기존의 IMO 기준 지표, 본 연구에서 시뮬레이션과 자유항주시험의 비교를 위하여 새로 정의한 지수를 각각 정리하였다. 괄호 안은 각 지수의 기호이다. 선별된 지수를 Fig. 6, Fig. 7의 그래프 상에도 표기하였다.

Fig. 6 
Turning performance indices

Fig. 7 
Zig-zag performance indices

Fig. 6에서와 같이 선회시험에서 전진거리, 전술직경 이외에 정상선회반경과 선수각 180° 시간을 추가하였다. 선수각 180° 시간은 시뮬레이션 선회 초반의 소요 시간이 자유항주시험과 유사한가 확인하는 의도이다. 정상선회반경은 선회 최종속도/최종선회율과 같으며, 시뮬레이션 정상선회 중 속도와 선회율 비를 검토하기 위하여 선정하였다.

Fig. 7처럼 지그재그시험에서는 IMO 기준 지표인 1차, 2차 오버슈트각 대신 1차, 2차 최대선수각을 지수로 삼았다. 오버슈트각은 일반적으로 10도 내외, 혹은 그 이하의 작은 값이므로 약간의 절대 각도 차이로도 오차율이 상당히 커질 수 있다. 따라서 소요시간 등 다른 지수들과 오차율 비교를 위하여 오버슈트각에 타각을 더한 최대선수각을 지수로 선정하였다. 그리고 소요시간의 확인을 위하여 1차 최대선수각 시간 및 반주기 시간(Reach)도 대상 지수로 추가하였다.

SIMMAN (2020) 등 공개된 구속시험에 의하면 대체로 사항각 6~7도 이하에서는 v에 대한 Y힘이 선형적으로 분포한다. 작은 편류각 범위에서 β=sin(-v/U)≈-v/U=-v^′이므로, 편류각 6~7도의 크기를 v^′로 표현하면 대략 0.12이다.

Fig. 4, Fig. 5의 35° 우현 선회, 20°/20° 우현 지그재그 시뮬레이션에서 무차원 횡속도(v^′), 무차원 선회율(r^′) 시계열을 추출하면 Fig. 8, Fig. 9와 같다. 지그재그 시험에서는 20° 이하의 타각을 좌우 번갈아 사용하므로 횡속도(v), 선회율(r)이 대체로 작은 범위 내에서 동요한다. 반면 선회 시험은 35° 최대타각을 꾸준히 사용하므로 횡속도와 선회율이 큰 값으로 유지되며 각 상태변수의 비선형 성분 비중이 커진다.

Fig. 8 
Non-dimensional sway velocity and yaw rate during 20°/20° starboard zig-zag simulation

Fig. 9 
Non-dimensional sway velocity and yaw rate during 35° starboard turn simulation

Fig. 8의 20°/20° 지그재그 시뮬레이션 중 |v^′|는 대부분 시험 구간에서 0.12 이하로 선형 범위이다. 이전의 여러 선형의 구속시험 및 시뮬레이션 경험에 기반하여 |r^′|은 0.28 이하를 선형 구간으로 다룰 수 있으며, 역시 Fig. 8에서 |r^′|은 대부분 0.28 이하의 선형 범위이다. 반면 Fig. 9의 35° 선회 시뮬레이션에서는 |v^′|, |r^′|이 대부분 0.12, 0.28을 초과한다. 즉, 비선형 항들의 비중이 크다.

따라서 본 연구에서는 유체력 미계수 보정을 Fig. 10과 같이 선형, 비선형 미계수에 대하여 순차적으로 진행하였다. 보정 대상은 선체의 가속도 관련 미계수와 추력, 타력 미계수를 제외한 선체의 속도 관련 선형, 비선형 미계수로 한정하였다.

Fig. 10 
Iteration procedure for tune of linear and nonlinear hydrodynamic coefficients

시뮬레이션 조종성능지수 오차를 줄이기 위한 유체력 미계수의 보정은 다양한 시나리오가 존재할 수 있으며, 결국 Fig. 11 과 같은 최적화 문제로 귀결된다.

Fig. 11 
Optimization problem for tune of hydrodynamic coefficients

경험식은 여러 선형들의 통계 분석을 바탕으로 도출된 것으로, 오차 가능성에도 불구하고 모형시험 등 타 자료가 없을 때는 유일한 신뢰성을 갖는다. 따라서 경험식으로 추정된 유체력 미계수들은 가능한 최소한의 보정만 이루어지는 것이 바람직하다. 각 조종성능지수에 대한 유체력 미계수의 민감도를 파악하고 해당 지수의 오차를 줄일 때 민감도가 높은 미계수부터 최소한의 보정을 실시하였다. 구체적인 내용은 5.1, 5.4절에 소개되어 있다.

Fig. 11의 제한조건에서 미계수 보정한도, 지그재그 및 선회 성능지수의 허용 오차에 대한 정량적 기준이 필요하다. 본 연구에서는 2장의 선행연구들을 참고하여 미계수 보정한도는 ±15 %로 고정하였다. 조종성능지수 허용 오차는 시뮬레이션에 따라 유동적일 수 있으며, 본 대상선의 경우 지그재그, 선회 지수 허용 오차를 각각 ±4.9 %, ±11.1 % 로 결정하였고, 그 과정을 5.2, 5.3절에 구체적으로 기술하였다.

유체력 미계수 최적화 문제를 풀기 위한 프로그램을 작성하였고, 전체 절차는 Fig. 12와 같다. Fig. 12에서 ‘지그재그에 의한 선형 미계수 보정’ 과 ‘선회에 의한 비선형 미계수 보정’의 반복계산(iteration)은 동일한 알고리즘이며, 한 예로 ‘지그재그에 의한 선형 미계수 보정’의 절차를 정리하면 Fig. 13과 같다. 오차가 큰 지수부터 미계수를 민감한 것부터 조금씩 줄여가면서 해당 지수의 오차가 정해진 허용 오차 이내가 되는지 확인한다. 모든 지수에 대하여 이를 반복한 후 모든 지수의 오차가 허용 오차 이내일 때, 혹은 정해진 유체력 보정 한도 내에서 모든 지수의 오차가 최소가 되면 계산을 종료한다.

Fig. 12 
Flow diagram for tune of hydrodynamic coefficients by using manoeuvring performance indices

Fig. 13 
Iteration procedure for tune of linear hydrodynamic coefficients with zig-zag indices of free run

최소한의 유체력 미계수를 보정하려면 해당 조종성능지수에 민감한 영향을 주는 미계수부터 변경하는 것이 바람직하다. 즉, 유체력 미계수의 민감도 해석이 선행되어야 한다. 8가지 조종성능지수에 대하여 15가지 유체력 미계수의 민감도를 도출하여 Fig. 14에 나타내었다.

Fig. 14 
Sensitivity of hydrodynamic coefficients on manoeuvring performance indices

예를 들어 1차 최대선수각(HA1)에 대한 유체력 미계수 Xvv의 민감도 추출 방법은 식 (6)과 같다. 아래첨자 0 % 은 초기 시뮬레이션 내의 유체력 미계수와 그 결과로 얻은 조종성능지수이고, 아래첨자 10 %는 유체력 미계수의 크기를 10 % 증가시킨 후 시뮬레이션한 값을 의미한다.

where, Xυυ10%=Xυυ0%+0.1Xυυ0%

Fig. 14에서와 같이 지그재그 성능지수에는 sway, yaw 관련 선형 미계수들이 민감한 영향을 미치며, 이외 비선형 미계수들의 영향은 미미하다. 선회 성능지수에도 선형 미계수 Nv, Nr 등의 영향은 크고, 더불어 Nvvr 등 비선형 미계수의 영향도 큰 것을 확인할 수 있다.

자유항주시험과 비교하여 시뮬레이션의 오차가 있더라도, 유체력 미계수의 보정 한도가 정해져 있으므로 보통 모든 지수의 오차를 0으로 완벽하게 보정하기는 어렵다. 선제적으로 시뮬레이션 초반에 유체력 미계수를 보정 한도 내에서 최대한 변경하면서 각 조종성능지수의 가능한 최소 오차를 추출해보고, 이를 바탕으로 현실적인 허용 오차를 미리 선정한 후 반복 계산을 수행하는 것이 바람직하다.

앞 절에서 추출된 유체력 미계수의 민감도 정보를 활용하여 각 조종성능지수마다 가능한 최소 오차를 추출하였다. 예를 들어 3.3절의 Table 3처럼 지그재그 시뮬레이션의 HA1T는 자유항주시험보다 10.7 % 더 크다. Fig. 14에서 Nv의 HA1T에 대한 민감도 부호가 (+)이므로, Nv의 절대값을 최대 보정 한도 –15 % 까지 줄이면 HA1T가 감소하고 자유항주시험에 가까워질 것이다. 이와 같은 방식으로 HA1T 한 지수에 대하여 모든 선형 미계수를 민감도 부호에 따라 보정 한도 +15 %, 혹은 –15 %로 변경한 후 HA1T의 가능한 최소 오차를 확인하였다. 각 조종성능지수들의 최소 가능 오차는 Table 5와 같다. 지그재그 성능지수의 경우 각각 선형 미계수 4개만 최대로 변경한 결과이다. 그리고 지그재그에서 최적 보정된 선형 미계수가 고정된 상태로, 비선형 미계수 11개를 최대 한도 내에서 변경하면서 선회 성능지수들의 최소 오차를 각각 탐색하였다.

Table 5에서 각 시험 별 오차의 평균과 최대값을 표로 정리하면 Table 6과 같다.

지그재그의 경우 초기 시뮬레이션의 성능지수 오차 평균은 6.0 % 이다. 만약 전체 허용 오차를 6.0 % 로 둔다면, HA1T와 같이 큰 오차를 6.0 % 근처로 줄이고, HA1, HA2의 작은 오차는 다소 늘리는 수준에서 유체력 미계수 최적화가 이루어질 것이다. 한편 허용 오차를 개별적으로 가능한 최소 오차 평균인 1.5 % 로 하는 것은 불가능하다. 최소 오차는 각 조종성능지수들에 대하여 개별적으로 탐색한 것이고, 이를 모두 동시에 만족시킬 수 없기 때문이다. 차선책으로 개별 최소 오차의 최대값인 3.7 % 를 목표 허용 오차로 삼을 수 있겠으나, 반복 계산에 의하면 이 값 역시 목표 허용 오차로 삼기에 대체로 작다.

적절한 목표 허용 오차는 초기 평균 오차 Err_meanI와 개별 최소 오차의 최대값 Err_maxF 의 중간 정도에 위치한다. 결국 허용 오차 Err_allow는 식 (7)과 같이 설정하는 것이 바람직하다.

본 대상선의 경우 지그재그와 선회 성능지수의 허용 오차는 Table 7과 같이 ± 4.9 %, ±11.1 % 로 결정되었다. 즉, 예를 들어 지그재그에서 HA1, HA2는 오차가 충분히 0.0 % 에 수렴할 수 있음에도 ± 4.9 % 이내만 되면 유체력 미계수의 보정을 멈춘다. HA1, HA2의 오차가 0.0 % 에 가깝다면, HA1T의 오차를 4.9 % 이내로 줄이는 과정에서 혹 HA1, HA2 의 오차가 증가되더라도 ± 4.9 % 를 넘지 않는 선에서 이를 허용한다. 이와 같은 규칙에 따라 보정을 하면, 오차가 상대적으로 큰 조종성능지수에 집중해서 오차를 줄이는 방향으로 보정이 이루어진다.

대상선의 시뮬레이션 조종성능지수와 지그재그 자유항주시험 지수와 비교에 의한 반복 계산은 532회, 선회 자유항주시험 지수와 비교에 의한 반복 계산은 총 1492회 수행되었다. 계산 반복 횟수에 따른 지그재그 및 선회 성능 지수 오차의 변화를 Fig. 15, Fig. 16에 각각 나타내었다. 그리고 계산 종료 후 시뮬레이션 조종성능지수의 개선 정도를 Table 8, 9에 정리하였다.

Fig. 15 
Variations of errors of zig-zag performance indices on iterative calculation

Fig. 16 
Variations of errors of turning performance indices on iterative calculation

Fig. 15에서 선형 미계수 보정 초반에는 오차가 큰 HA1T, RCH의 오차를 줄이는 쪽으로 미계수 보정이 이루어지며, 이 때 이미 오차가 0에 가까웠던 HA1, HA2 는 오차가 오히려 음으로 증가한다. 이후 순차적으로 HA1, HA2까지 오차를 줄이고, 결국 모든 오차가 허용 오차 근처에서 최소가 될 때 계산을 종료한다.

Fig. 16의 비선형 미계수 보정 초반에는 특히 오차가 큰 Y180, STR의 오차를 줄이는 쪽에 집중하며, 이후 모든 지수의 오차가 점차 최소값으로 수렴한다. 단, 선회의 초기 오차가 지그재그에 비하여 크기 때문에 보정하는 미계수의 개수가 많아지고, 반복 계산 횟수가 상대적으로 증가하였다.

보정된 유체력 미계수를 사용한 선회, 지그재그 시뮬레이션 궤적 및 시계열은 Fig. 17, 18과 같다. 초기 시뮬레이션에 비하여 보정된 유체력 미계수에 의한 시뮬레이션은 자유항주시험 결과에 더 가깝다. 궤적뿐만 아니라 선속, 선회율 등의 실제 물리량 시계열도 자유항주시험과 상당히 유사함을 확인할 수 있다.

Fig. 17 
35° starboard turn simulation with tuned coefficients

Fig. 18 
20°/20° starboard zig-zag simulation with tuned coefficients

특히 선회의 경우 유체력 미계수를 보정한 후 정상선회 선속과 선회율이 모두 개선되었다. 유체력 미계수 보정 전과 후의 정상선회 시뮬레이션 선속의 오차는 각각 –8.8 %, +2.4 %, 선회율 오차는 각각 +12.2 %, +10.9 % 로 각 물리량의 오차 크기가 감소하였다. 본 연구의 산술적인 최적화 방법은 개별 유체력 미계수들을 정밀하게 보정하기에는 충분하지 않으나, 정상선회반경 등 적절한 지수를 목표로 삼는다면 최소한 전체 외력 합은 실제 현상을 재현하는 방향으로 보정이 이루어질 수 있다.

Table 10, Table 11에서 지그재그, 선회 시험으로 보정된 유체력 미계수를 동일 선형 구속시험 및 전산유체계산으로 추출된 타 연구(Sung et al., 2014; Sung & Park, 2015)의 유체력 미계수와 비교하였다. X_vv, X_rr만 Sung et al. (2014) 연구에서 발췌하였다. 선수동요 사항각 구속시험(Yaw with drift test)에 관계된 X_vr, Y_vvr, Y_vrr, N_vvr, N_vrr은 전산유체계산 결과이며, 이외의 미계수는 구속시험 결과이다.

Coefficient (x 105)	Sensitivity to HA1 (x 105)	Based on empirical formula		PMM or CFD (Sung&Park,2015)
		Initial	Tuned
Yv	-16290
Yr - m	31371
Nv	56563
Nr	-33882

Coefficient (x 105)	Sensitivity to Y180 (x 105)	Based on empirical formula		PMM or CFD (Sung&Park,2015)
		Initial	Tuned
Xvv	540
Xvr + m	3308
Xrr	-2430
Yv|v|	2629	-3522	-3412
			(-3.1 %)
(Yvvv)				-5320
Yr|r|	88	13	13
			0.00%
(Yrrr)				-104
Yvvr	1088
Yvrr	2814
Nv|v|	1065	71	71
			0.00%
(Nvvv)				596
Nr|r|	2822	-33	-38
			(-15.0 %)
(Nrrr)				77
Nvvr	16648
Nvrr	4703

Table 10의 선형 미계수 중에는 N_v, Y_r - m 등이 보정되었으며, Table 11의 비선형 미계수에서는 민감한 N_vvr, N_vrr, X_vr + m, Y_vrr 등에 집중하여 보정되었다. 전체적으로 구속시험 및 전산유체계산 기반 미계수에 가까워지는 방향으로 보정이 이루어짐을 확인할 수 있다.