동일 주파수 성분을 갖는 디젤엔진과 프로펠러 기진력 간의 위상차(phase difference) 규명방법은 Fig. 1에 보인 바와 같이 동시 기진력에 의한 복소진동응답 VT→ 를 결정하는 디젤엔진과 프로펠러 기진력의 개별 복소진동응답 Ve→ , Vp→를 각각 평가하고 이로부터 Ve→와 Vp→간의 응답 위상차에 해당하는 β-γ를 평가하는 것이다. 그러나, 실선에서는 주기관인 디젤엔진과 프로펠러가 직결되어 동시에 작동하므로 Ve→와 Vp→를 개별적으로 계측하는 것이 불가능하다. 또한, 동시 기진력 작용 시의 VT→는 다양한 방법으로 측정 가능하나 2개의 복소진동응답이 VT→로 합성되는 경우는 무수히 많으므로 VT→ 계측을 이용한 프로펠러 간의 위상차 규명 문제는 원칙적으로 부정정 문제에 해당한다.

Fig. 1 
Phase difference identification problem between vibratory responses induced by M/E and propeller excitations

디젤엔진 기진력에 의한 진동응답 Ve→=(Re,Ie)과 이와 동일한 기진주파수를 갖는 프로펠러 기진력에 의한 진동응답Vp→=(Rp,Ip)의 합성성분 Vt→=(Rt,It)은 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, Re와 Ie는 디젤엔진 유기 실수부와 허수부 진동응답, RP와 Ip는 프로펠러 유기 실수부와 허수부 진동응답을 각각 의미한다.

한편, 복소평면 상에서 Vt→는 Fig. 2에 나타낸 바와 같이 Ve→와 Vp→의 위상차에 따라 Ve→=(Re,Ie)를 원점으로 하고, 프로펠러 기진력에 의한 응답 크기인 Ap(=Rp2+Ip2)을 반경으로 하는 원의 궤적 상에 위치한다. 따라서, 복소진동응답 측정에 의해 상기 원의 방정식을 파악하면 Ve→와 Vp→를 규명할 수 있고, 이로부터 두 기진력에 의한 진동응답 간의 위상차를 파악할 수 있다.

Fig. 2 
Trajectory of a combined response of two vibratory responses

Ve→와 Vp→의 위상차에 따른 Vt→ 의 원 궤적 방정식을 구하기 위해서는 동일 직선상에 위치하지 않는 세 지점에 대한 복소진동응답 정보가 필요하다. 따라서, 상기 원 궤적 방정식은 Fig. 2에 보인 바와 같이 초기 조립상태의 복소진동응답 V1→=(R1,I1), 프 로펠러 조립각(propeller assembly angle)을 임의 각도 ϕ1, ϕ2로 변경한 경우의 각각에 대한 복소진동응답 V2→=(R2,I2), V3→=(R3,I3)를 계측하면 구할 수 있다. 이로부터 주기관 기진력에 의한 복소진동응답 Ve→=(Re,Ie)는 상기 원의 중심점이며, 프로펠러 기진력에 의한 복소진동응답 Vp→=(Rp,Ip)는 식 (2)과 같이 산정할 수 있다.

따라서, 개별 응답의 위상차는 복소진동응답 Ve→=(Re,Ie)와 Vp→=(Rp,Ip)의 위상값으로부터 구할 수 있다.

한편, 상기 방법은 최초 조립상태 및 2번의 조립각 변경 시의 진동계측이 요구되므로 실제 적용에 있어 많은 시간과 비용이 요구된다. 이에 본 연구에서는 프로펠러 조립각 변경 횟수를 1회로 줄이는 방법을 다음과 같이 제시한다.

프로펠러 초기 조립상태에서 복소진동응답을 V1→=(R1,I1)을 계측한 후 제어 대상 차수 성분이 k차수 성분일 경우 조립각을 (180/k)°로 변경한 후 복소진동응답 V2→=(R2,I2)을 계측하면, Fig. 3에 나타낸 바와 같이 Ve→=(Re,Ie)와 Vp→=(Rp,Ip)는 다음과 같이 파악할 수 있다.

따라서, 개별 응답의 위상차는 복소진동응답 Ve→=(Re,Ie)와 Vp→=(Rp,Ip)의 위상값 차이로부터 구할 수 있다.

Fig. 3 
Phase difference identification by two trial measurements using 180° change of propeller assembly angle

전술한 프로펠러 조립각 1회 변경에 의한 위상차 규명 방법은 디젤엔진의 기준 회전위상에서의 Ve→=(Re,Ie)와 Vp→=(Rp,Ip)로부터 개별 진동응답의 위상각이 파악된다. 따라서, Ve→의 위상을 ϕe, 조립각 변경 후의 Vp→의 위상을 ϕp라 하고, 디젤엔진 회전수의 k 차 조화성분 진동저감을 위한 프로펠러 조립각 변경 각도 ∆θ는 다음과 같이 최종적으로 결정된다.

전술한 프로펠러 조립각 1회 변경에 의한 주기관과 프로펠러 기진력 위상차 규명 방법은 최소한의 시행착오와 계측만으로 위상차를 규명할 수 있다는 장점이 있으나, 실제 적용에 있어서 기 건조된 선박의 프로펠러 조립각 변경과 진동 측정을 위한 시운전에 여전히 많은 시간과 비용이 요구된다. 따라서, 상기 방법과 더불어 본 연구에서는 프로펠러 최초 조립각 상태에서의 추진축계 진동 측정 결과와 추진축계 수치해석 모델을 이용하여 디젤기관과 프로펠러 유기 기진력 간의 위상차를 평가하는 방법을 아래와 같이 제안한다.

특정 추진축계 위치와 디젤엔진 회전수에서 디젤엔진 및 프로펠러 기진력으로 인한 추진축계 종진동응답의 크기를 각각 Ae와 Ap라 하면, Ae에 대한 Ap의 비인 a는 다음과 같이 정의할 수 있다.

또한, Fig. 1에 나타낸 주기관 기진력에 의한 복소 진동응답 V→e와 프로펠러 기진력에 의한 복소 진동응답 V→p는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, β=tan-1(Ie/Re), γ=tan-1(Ip/Rp)이다.

한편, V→e와 V→p의 합성 성분에 해당하는 V→T의 실수 성분 RT와 허수 성분 IT는 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

이로부터 Ae와 AT의 제곱비는

와 같고, 이를 다시 정리하면

와 같으므로, V→e와 V→p의 위상차 절대값에 해당하는 β-γ는 식 (12)로부터 구할 수 있다.

한편, 식 (12)를 이용한 위상차 평가 방법에 요구되는 Ae와 Ap는 추진축계 수치해석 모델을 활용하면 주기관과 프로펠러 기진력을 개별적으로 가한 경우의 진동응답 해석 결과로부터 추정할 수 있다. 또한, AT는 최초 조립각 상태로 시운전할 때 계측을 통해 파악이 가능하므로 V→e와 V→p간의 위상차에 해당하는 β-γ의 규명이 가능하다.

또한, 수치해석 모델 및 기진력 평가의 불확실성으로 인한 Ae와 Ap의 추정 정확도를 평가하기 위한 최소한의 평가 기준으로는 파동현상의 중첩과 상쇄 시의 최대 크기와 최소 크기 관계를 이용하여 다음의 관계식을 적용할 수 있다.

아울러, 상기 기준을 만족하지 못하는 경우는 기진력 크기 추정에 오류가 있거나 수치해석 모델이 추진축계 동특성을 엄밀하게 모사하지 못한 경우에 해당하므로 기진력 재추정, 수치해석 모델 구성 및 이의 물성치 조정과 재해석이 요구된다. 아울러, 선박 디젤엔진과 프로펠러 기진력은 회전속도에 따라 달라지므로 서로 다른 회전속도에 대한 수치해석과 계측을 이용한 위상차 평가 결과가 동일하지 않을 수 있다. 이 경우엔 진동응답 저감이 요구되는 회전속도 구간에서 평가한 위상차의 평균값을 활용하거나 공진응답을 나타낸 주기관 회전속도에서 평가된 위상차를 활용하는 것이 공학적 관점에서 바람직하다고 판단한다.

위상차 평가 결과의 정확도 평가는 디젤엔진과 프로펠러 기진력을 동시에 고려한 추진축계의 종진동 응답 해석 결과를 계측 결과와 비교하여 수행할 수 있다.

즉, 수치해석에 있어서 디젤엔진 기진력 위상을 ξe로 입력했을 때 특정 위치에서 이로 인한 진동응답 위상이 λe, 프로펠러 기진력 위상을 ξp로 입력했을 때 동일 위치에서 프로펠러 기진력만의 진동응답 위상이 λp라고 하면, 상기 기진력을 동시에 가진한 경우의 주기관과 프로펠러 기진력 간 위상차는 λe-λp이다. 이때, 상기 위상차는 AT에 대한 계측 결과와 Ae에 대한 수치해석 결과를 활용하여 식 (12)로 평가한 위상차 β-γ와 다르므로 수치해석적으로 평가한 진동응답 크기는 시운전 시 계측한 진동응답 크기와 달리 평가된다. 따라서, 수치해석으로 시운전 계측 결과를 모사하기 위한 새로운 프로펠러 기진력 위상각 ξp'은 다음과 같이 산정할 수 있다.

본 절에서 제안한 기진력 위상차 평가 결과의 정확도는 ξp'를 반영한 주기관 및 프로펠러 기진력 동시 작용시의 진동응답 크기를 계측 결과와 비교하여 확인할 수 있다.

주기관과 프로펠러 기진력 간의 위상차가 규명되면 주기관 회전속도의 k차 조화성분 진동저감을 위한 프로펠러 조립각 변경량 ∆θ은 Fig. 4에 도시한 바와 같이 다음과 같이 결정한다.

Fig. 4 
Calculation of optimal propeller assembly angle

한편, 수치해석을 이용한 조립각 변경 각도 파악 시에는 기진력이 해당 주파수 성분으로 입력되므로 프로펠러 날개수에 따른 진동차수를 고려할 필요가 없다. 따라서, 수치해석을 위한 프로펠러 기진력 최적 위상 변화량 계산 시에는 k=1로 하여야 한다.

상기 추진축계 종진동 응답에 대한 수치해석 방법과 계측 결과를 이용한 주기관과 프로펠러 기진력 간의 위상차 규명 절차는 Fig. 5에 나타내었다.

Fig. 5 
Procedure for phase difference identification using measured and simulated axial vibratory responses of a propulsion shafting

본 연구에서 제시한 기진력 위상차 규명방법의 타당성을 검토하고자 실적선 추진축계의 종진동을 계측하고, 유한요소법을 이용한 수치해석으로 디젤엔진과 프로펠러 유기 5차 종기진력의 위상차와 상기 기진력으로 인한 진동응답을 최소화하는 최적 위상차 규명을 시도하였다. 실적선의 주요 제원 및 주기관 사양은 Table 1에 나타내었으며, 날개 수 5개인 프로펠러와 7기통 디젤엔진을 탑재한 실적선 추진축계의 유한요소모델의 구성 및 기진력 부가 위치는 Fig. 6, 이의 상세 정보는 Table 2에 나타내었었다 (Kiroy et al., 2004).

Fig. 6 
Finite element model of propulsion shafting and excitation forces for a real ship

또한, 디젤엔진 회전속도별 프로펠러 날개 수 1차 성분에 해당하는 프로펠러 축 방향 종기진력의 크기를 비정상 양력면 이론에 의한 수치해석 결과에 계측결과를 반영하여 보정한 결과는 특정 기준값으로 나눈 무차원수(Normalized value)로 변환하여 Fig. 7에 나타내었다. 이와 같이 프로펠러 기진력 크기를 조정한 이유는 식 (13)에 나타낸 진동응답 크기의 제한조건을 만족하면서 계측 결과를 보다 정밀하게 모사하기 위함이었다. 또한, 수치해석에 있어서 84 rpm 기준 주기관 회전수의 1차부터 7차까지의 크랭크스로우 핀에 작용하는 접선력 및 반경력의 차수 성분 크기와 위상은 Table 3에 무차원수로 변환하여 나타내었는데, 본 연구에서는 5차 성분 기진력만을 각 실린더의 크랭크 스로우 핀에 Fig. 8에 나타낸 바와 같이 접선력과 반경력으로 부가하여 진동응답 해석을 수행하였다.

Fig. 7 
Propeller excitation magnitude according to M/E rotation speed

Fig. 8 
M/E excitation force components

한편, 상기 수치해석 결과의 타당성을 검증하기 위하여 해석모델과 동일한 추진축계가 탑재된 실적선의 시운전 조건에서 국제 표준 (Lee et al., 2009a)에 따라 무선 계측 장비를 이용하여 중간축의 축방향 스트레인을 계측하였고, 이를 축력으로 환산하였다. 계측 시스템 주요 구성 및 이의 설치 모습은 Fig. 9에 나타내었다.

Fig. 9 
Measurement system and installation

동일한 주파수 성분을 갖는 프로펠러 날개수 1차 성분 기진력과 디젤엔진 회전수 5차 성분 기진력에 의한 중간축 종진동 응답의 위상차를 규명하기 위하여 이들 기진력이 개별 가진될 경우의 축 회전수 50~80 rpm 구간에 대한 1 rpm 간격의 진동응답해석을 MSC/Nastran에서 제공하는 직접 주파수응답해석(Direct frequency response analysis; sol: 108) 방법 (Kiloy, 2001)을 적용하여 수행하였다. 이때, 평가 대상 물리량은 중간축에서의 종방향 축력(Axial force)으로 설정하였으며, 수치해석에 활용된 추력블럭과 종진동 댐퍼의 강성과 감쇠는 위상각 조정을 통한 축력의 최대 저감효과를 확인하기 위해 최대 축력 발생속도인 78 rpm에서의 계측 결과를 기준으로 세부 조정하였다.

수치해석에 있어서 위상이 0°인 디젤엔진과 프로펠러 5차 기진력이 개별적으로 작용할 경우에 중간 축에 걸리는 종방향 축력을 해석한 결과는 Fig. 10에 무차원수로 변환하여 나타내었다. 또한, 개별 기진력 작용 시의 응답 크기와 계측으로 평가한 응답 크기를 이용하여 주기관과 프로펠러 기진 응답간의 위상차를 식 (12)를 이용하여 평가한 결과는 Table 4에 무차원수로 변환하여 나타내었다. 이에는 시운전 시 측정한 축력 결과도 함께 나타내었는데 개별 기진력에 의한 축력 크기는 상호간의 위상차에 따라 계측된 축력을 구현할 수 있음을 확인할 수 있다. 한편, 63 rpm 미만의 일부 축 회전수에서는 식 (13)의 조건을 만족하지 못하여 위상차를 평가하지 못하였음을 확인할 수 있다. 또한, 평가가 가능하였던 회전수에서의 위상차도 일정하지 않음을 확인할 수 있다. 이는 수치해석 모델, 기진력 크기 및 계측의 불확실성에 기인한 것으로 판단한다. 아울러, 상대적으로 저속인 70 rpm 미만에서는 위상차 평가 결과의 변동이 심한 반면에 그 이상의 회전수 구간에선 평가한 위상차는 23.2° 이내로서 상대적으로 작은 차이를 나타냄을 확인할 수 있다. 이는 저속 구간에서는 축력이 상대적으로 작을 뿐만 아니라 계측 당시 파랑 중 선박운동에 따라 변동하는 부하로 인해 조속기(governor)에 의해 제어되는 디젤엔진 회전수의 변동폭이 상대적으로 컸기 때문인 것으로 판단한다.

Fig. 10 
Estimated axial force at intermediate shaft in case of individual excitation

한편, 상기 추진축계의 공진속도에 해당하는 축 회전수 78 rpm에서 디젤엔진 기진력만의 진동응답 위상은 37.9°, 프로펠러 기진력만의 진동응답 위상은 115.7°로서 77.8°의 위상차를 나타내었다. 이에 78 rpm에서의 계측결과를 이용하여 평가한 기진력 위상차인 129.1°와 동일하도록 프로펠러 기진력의 위상을 51.3°로 변경한 후 디젤엔진과 프로펠러 기진력 동시 작용 시의 축력해석결과를 Fig. 11에 무차원수로 변환하여 나타내었다. 이로부터 프로펠러 기진력의 위상을 조정한 축력 해석 결과는 수치해석 모델, 기진력 및 감쇠 크기, 계측 과정의 다양한 불확실성에도 불구하고 70 rpm 이상의 축 회전수 구간에서의 축력 계측 결과를 비교적 정확하게 구현함을 확인할 수 있다.

Fig. 11 
Measured and simulated axial force at intermediate shaft for sea trial condition

또한, 주기관 회전수 78 rpm 대역의 추진축계 진동응답을 최소화하는 프로펠러 기진력 위상에 해당하는 102.2°를 반영하여 디젤엔진과 프로펠러 기진력 동시 가진 시의 축력을 해석한 결과는 Fig. 12에 계측결과와 함께 나타내었다. 이로부터 프로펠러 조립각(Propeller assembly angle)을 최적화하면 위상조정 기준 속도인 78 rpm에서 수치해석 대상 선박의 중간축 종진동 응답을 시운전 조건 대비 약 87%까지 저감함을 확인할 수 있다.

Fig. 12 
Simulated axial force at intermediate shaft with estimated optimal propeller assembly angle

상기의 결과로부터 본 연구에서 제안한 동일 기진주파수를 갖는 프로펠러와 주기관 기진력의 위상차 규명 방법은 추진축계 진동 및 추력블럭에 작용하는 종기진력 저감을 위한 프로펠러 최적 조립각 산정에 유용하게 활용될 수 있다고 판단한다.

한편, 제안된 방법의 정확도는 추진축 진동 계측 결과와 수치해석결과의 정확도에 좌우된다. 따라서, 정도 높은 위상차 규명을 위해서는 정도 높은 기진력 크기 평가와 함께 수치해석 모델이 추진축계의 공진주파수와 감쇠 특성에 대한 정밀 모사가 요구되므로, 이에 큰 영향을 미치는 추력블럭과 종진동 댐퍼의 강성과 감쇠 물성치의 정밀한 평가가 필요하다.