본 연구에서 난류모델로 고려한 대형와모사법이 적용되어진 비압축성 뉴턴 유체에 대한 연속 방정식 및 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

여기서, t는 시간을 나타내며, ui는 xi의 직교좌표계를 따르는 방향의 속도 성분이고, p는 압력, 변수 위의 바(bar)는 격자 필터링을 통해 얻어진 대형 스케일의 값을 나타낸다. τij는 subgrid 스케일의 응력 텐서를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

이때, τij는 Germano et al. (1991)이 제시한 dynamic Smagorinsky 모델을 이용해 구하였다. 지배방정식은 유한 체적법 기반으로 이산화 되었으며, 이산화 방법으로는 시간 및 공간에 대해 각각 2차 implicit 방법과 중앙 차분법을 각각 이용하였고 속도와 압력의 연성을 위해 SIMPLE(Semi-implicit method for pressure linked equation) 방법을 사용하였다. 본 연구에서 사용된 수치해석 기법들은 저자들이 속한 실린더 주위 유동 해석 관련 연구들에 성공적으로 도입된 바 있다. 따라서 수치해석과 관련된 상세한 내용은 다음 선행 연구를 참고하여 확인할 수 있다 (Jung & Yoon, 2014; Wei et al., 2016; Yoon et al., 2017; Kim & Yoon, 2018).

본 연구에서는 원형 실린더와 트위스트 실린더, 가변 피치 트위스트 실린더를 고려한다. Fig. 1은 위 실린더들의 형상을 나타내며 Fig. 2는 트위스트 실린더의 축방향 단면을 나타낸다.

Fig. 1 
Geometries of different cylinders; (a) circular, (b) twisted, and (c) variable pitch twisted.

Fig. 2 
Axial(z) section of twisted cylinders.

원형 실린더는 직경 D를 가지며 축방향의 단면 형상 변화는 없다. 트위스트 실린더는 타원 형상의 단면을 가지며 축을 따라 0~360°까지 회전하며 나아간다. 단면이 회전하며 나아가는 거리인 피치(pitch)는 Jung & Yoon (2014)과 동일한 값인 L=4.55Dm을 사용하였다. 이때 Dm은 트위스트 실린더의 장축(A)과 단축(B)에 대한 평균 길이로 식 (3)과 같이 정의된다. 이는 원형 실린더의 직경(D)과 동일하다. 이때 장단축의 길이는 Jung & Yoon (2014)에서 사용된 조건과 동일하게 설정하였다.

식 (4)는 단면의 회전 각도에 따른 트위스트 실린더의 형상을 정의하고 있다. 또한, 트위스트 실린더의 축방향 중심까지의 거리를 λ라 한다면 L=2λ이고, 실린더의 형상과 축방향 거리에 따른 단면 회전 각도는 식 (5)와 같이 정의된다.

가변 피치 트위스트 실린더도 단면의 형상과 축방향 길이는 트위스트 실린더와 동일하다. 하지만, 단면이 0~180° 회전하며 나아가는 구간과 180~360° 회전하며 나아가는 구간의 피치가 서로 다르다. 즉, 단면이 180° 회전하였을 때 피치가 변하게 되며 짧아진 피치와 길어진 피치의 양은 동일하게 하였다. 기존 피치와 피치의 변화량의 비를 가변피치비(Variable pitch ratio, VP)라 정의하였고, 기존 피치를 P 변화된 피치를 PV라 하였을 때 VP는 식 (6)과 같이 계산된다.

가변 피치 트위스트 실린더의 단면이 짧은 피치를 갖는 상태로 나아간 거리를 λS, 피치가 긴 상태 영역에서 단면이 나아간 거리를 λL라고 할 때, 실린더 단면 형상은 식 (4)과 동일하고 축방향 거리에 따른 단면 회전 각도는 식 (7)과 같이 정의된다.

Fig. 3은 해석영역을 나타내고 있다. 유체의 유입 방향은 x방향이며 실린더 상류 방향으로 10Dm, 하류 방향으로 20Dm의 거리를 이루고 있으며, 상부와 하부방향으로는 각각 10Dm으로 동일하다. 실린더 축방향 거리는 가변 피치 실린더의 축방향 길이와 동일한 4.55Dm으로 설정하였다.

Fig. 3 
Schematic of the computational domain.

경계조건으로 입구 조건은 무차원화 된 x방향 속도만 존재하며 크기는 1로 U∞=1인 균일유동을 고려하였고, 출구 조건은 Jung & Yoon (2014)과 동일한 대류 경계조건을 사용하였다. 축방향 면은 주기조건을 적용하였고 측면은 대칭조건이 적용되었다. 또한, 실린더 벽면에는 점착조건을 부여하였다.

실린더에 대해 첫 번째 격자의 위치는 y+=1을 기준으로 계산되는 값을 이용하였다. 계산에 사용된 격자수는 약 380만개(58000×66)이며, 이때 실린더 주위 O 타입의 영역은 반경방향으로 115, 원주방향으로 336개의 격자계로 구성되어 진다. 또한 박리에 의해 발생하는 실린더 후류 영역의 복잡한 유동을 정확히 모사하기 위해 전방 정체점에서 후방 정체점으로 갈수록 더욱 격자의 밀도가 높아지도록 구성하였고 이에 해당하는 격자 분포를 Fig. 4에서 확인할 수 있다. 이때 전방 정체점은 실린더 횡단면의 원주각(circumferential angle) θ을 기준으로 θ=0°인 지점을 전방 정체점, θ=180°인 지점을 후방 정체점으로 정의하였다.

Fig. 4 
Grid distribution of (a) around variable pitch twisted cylinder and (b) entire domain.

본 연구의 결과에 대한 신뢰성 확보를 위해 동일한 Re에서 원형 실린더와 트위스트 실린더에 대한 선행연구들의 실험 및 수치해석 결과들을 정량적인 값으로 비교하고자 하였다. 원형 실린더에 대한 계산 결과의 비교를 Table 1에 나타내었다. 비교 변수로는 시간 평균된 총 항력 계수(CD¯)와 총 양력 계수의 섭동에 대한 정도를 비교하기 위해 제곱 평균에 제곱근을 취한 값(root mean square, RMS)(CL,rms)을 비교하였다. 또한 양력 섭동의 주기성 파악을 위한 스트롤 수(Strouhal number, St)도 함께 비교하였다.

Table 1에 대해 CL,rms의 경우 선행연구 결과들이 서로 다른 범위의 데이터를 가지지만 본 연구의 결과는 선행연구들의 결과 내에 있음을 알 수 있다. 또한, CD¯의 경우 선행연구들의 일관된 결과가 있으며 본 연구 또한 매우 잘 일치하는 결과가 도출되었음을 확인할 수 있다. 본 연구 결과에 대한 St 또한 선행연구 결과들과 잘 일치한다. 트위스트 실린더에 해당하는 결과 또한 유효성 검증 차원에서 원형 실린더와 마찬가지로 선행연구와 비교하였고 이를 Table 2에 정리하였다.

트위스트 실린더의 결과 또한 CD¯는 매우 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. CL,rms와 St는 선행연구 간에 차이가 약간 있지만, 본 연구의 결과와 선행연구의 결과가 매우 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 원형 실린더와 트위스트 실린더를 통해 계산 결과를 검증해본 바 본 연구에 대한 결과의 신뢰성이 확보되었다고 판단되어 진다.

더불어, 본 연구의 계산 결과에 대한 격자 의존성을 확인하기 위해 가변 피치 트위스트 실린더에 대해 서로 다른 격자 수준에서의 CD¯, CL,rms 및 St에 대한 계산 결과를 정량적으로 비교하였다. 격자 의존성 검증에 고려되어진 격자수와 해당하는 결과들을 Table 3에 나타내었고, 각각의 격자계는 x, y, z 모든 방향으로 변화를 주어 구성하였다. CD¯, CL,rms, St에 대해 성긴 격자계와 중간 격자계의 계산 결과들의 상대적 변동률은 각각 1.40%, 54.29%, 6.38%이다. 반면, 중간 격자계와 조밀한 격자계에 대해서는 각각 0.27%, 14.29%, 1.06%의 더욱 작은 차이를 보이고 있다. 따라서 본 연구의 계산에 대한 효율성을 고려하여 앞선 언급한 약 380만개(58,000×66)로 구성된 중간 격자계를 사용하였다.

기하학적 형상의 차이가 유도하는 성능을 비교하기 위해 원형 실린더와 트위스트 실린더, 가변 피치 트위스트 실린더의 CD¯, CL,rms, 그리고 St을 Table 4에 나열하였다. 3차원 형상 교란이 적용된 실린더는 기존의 원형 실린더보다 외력에 대한 계수가 상당히 줄어들었음을 확인할 수 있다. St의 감소는 유동의 안정화와 와흘림의 주기가 길어진 것을 의미하며 이는 와류 형성 길이(vortex formation length, Lf)의 연장과 관련된다(Bearman, 1965; Lam, et al., 2004(b); Jung & Yoon, 2014). 본 연구 결과의 Lf에 대한 자세한 분석은 3.2장에 더욱 상세하게 다루었다. 더불어, 가변 피치가 적용된 트위스트 실린더가 기존의 트위스트 실린더보다 더욱 우수한 유동제어 성능을 가짐을 확인할 수 있다. 즉, 나선형 3차원 형상 교란과 가변 피치에 의한 형상 비대칭성의 조합이 추가적인 유동제어 성능을 도출하였음을 알 수 있다.

Fig. 5는 항력계수(CD)와 양력계수(CL)의 시계열 그래프를 도시한 것이다. Fig. 5(a)로부터 트위스트 실린더와 가변 피치 트위스트 실린더는 시간에 대한 의존성 없이 항상 원형 실린더보다 낮은 CD를 가짐을 알 수 있다. 또한, 원형 실린더의 CD는 매우 잦은 섭동을 갖는 시간 의존성을 강하게 보인다. 하지만 3차원 형상 실린더는 위와 같은 항력의 섭동이 매우 억제되었음을 확인할 수 있다. 이는 Fig. 5(b)에서 나타나듯 3차원 형상 교란 실린더들의 CL 섭동이 상당히 억제된 것과 강한 연관성이 있다. 주기적으로 반복되는 와흘림이 양력의 섭동을 유발하며 이는 항력의 진동도 유발하는데, 이러한 와흘림 억제로부터 유체력의 시간 의존성이 상당히 약화된다.

Fig. 5 
The time-history of (a) drag and (b) lift coefficients for the circular, twisted, and variable pitch twisted cylinder at Re=3000.

이러한 유체력 제어의 메커니즘 규명을 위한 정성적 평가의 방법으로 각 실린더들의 주위 유동장을 분석하였다. Fig. 6는 각 실린더 주위의 와구조를 시각화하기 위해 Jeong & Hussain (1995)이 제시한 λ2 방법을 이용하였다. 모든 실린더는 같은 문턱값에 대한 와구조를 나타내도록 하였다. Fig. 6(a)에 나타나듯 원형 실린더의 경우 매우 구조적인 카르만 와열이 명확히 나타나며 수많은 소규모 와들과 길이 방향의 관 형상의 와구조가 존재한다. 반면, 트위스트 및 가변 피치 트위스트 실린더는 와열의 roll-up을 상당히 지연시키고 후류 영역에서 뚜렷하던 카르만 와열도 후류방향으로 지연되어 발생함을 Fig. 6(b)-(c)를 통해 확인할 수 있다. 또한, 3차원 형상 교란 실린더들은 원형 실린더 대비 후류의 폭이 좁아졌음을 확인할 수 있다. 더불어, Fig. 6(b)-(c)에 나타나듯 배면 근처의 와들의 거의 존재하지 않고 원형실린더에서 관찰되던 관 형상의 와구조도 명확히 나타나지 않는다. 이는 3차원 형상 교란이 박리 전단층의 안정화를 유도하고 이로부터 Lf의 신장으로 인한 유동 안정화가 이루어졌기 때문이라 할 수 있다.

Fig. 6 
Side view(left column) and top view(right column) of isosurface of swirl strength for (a) circular, (b) twisted, (c) variable pitch twisted.

Fig. 7은 x-y 평면에서 z방향 와도인 ωz의 시간 평균된 컨투어를 각 실린더에 대해 나타낸 것이며 트위스트 실린더의 경우엔 타원 단면의 장축이 유동 방향과 수평한 위치와 수직인 위치에 대해 나타냈고, 가변 피치 트위스트 실린더에 대해서는 λS와 λL 각각의 구간에서 타원 단면이 유동과 수평 및 수직을 이루는 위치에 대한 컨투어를 나타냈다. 원형 실린더 대비 3차원 형상 교란이 적용된 실린더는 상당히 신장된 와도 영역을 보이며 이 경향은 축 방향 위치에 독립적이다. 특히 가변 피치 트위스트 실린더는 단면의 동일한 위상에 대해 피치 값에 관계없이 기존의 트위스트 실린더보다 신장된 와도 영역을 보인다. 이는 전 영역에서 Lf의 신장을 의미하며 Fig. 6에서 관찰 가능한 현상인 roll-up의 지연과 관련된다. 이와 같은 현상에 의해 3차원 형상 교란 실린더 후류 영역의 압력 회복이 원형 실린더 보다 우수해지고 이는 항력 등의 유체력 감소와 직결된다.

Fig. 7 
Time averaged spanwise vorticity contours at the same topological section for different cylinders; (a) circular, (b) twisted, (c) variable pitch twisted(λS region), and (d) variable pitch twisted(λL region).

이를 직접적으로 비교하기 위해 각 실린더에 대한 전방 정체점의 시간 평균된 압력계수(CPs¯)와 후방 정체점의 압력계수(CPb¯) 및 두 계수의 차이를 Fig. 8에 도시하였다. 이때 CPs¯는 실린더 횡단면의 원주각 θ=0°인 지점의 CP¯이며 CPb¯는 θ=180°인 지점의 CP¯이다. Fig. 8(a)를 통해 트위스트 실린더들의 CPb¯가 더욱 커졌음을 확인할 수 있고 그 중에도 가변 피치 트위스트 실린더가 기존의 트위스트 실린더보다 더 큰 CPb¯를 가짐을 알 수 있다. 이는 박리 이후의 압력 회복이 잘 일어나는 것을 의미한다. 또한 CPs¯를 나타내는 그래프에서 트위스트 실린더는 대칭형의 주기성을 나타내고 있으며, 가변 피치 실린더는 비대칭적인 형상을 띄고 있다. 또한, 가변 피치 트위스트 실린더의 CPs¯에 대한 최솟값이 트위스트 실린더보다 작은 경향을 보인다. Fig. 7(b)-(d)에서 확인할 수 있는 유동 안정화에 의한 축방향 전체에 걸친 Lf의 신장이 와도의 중심을 실린더 배면에서 후류 방향으로 멀어지도록 하고, 이로 인해 축방향 형상의 차이에 의한 압력 변동이 실린더에 미치는 영향을 약화시켜 음압의 축방향 변화 의존성이 약화된다. 따라서 Fig. 8(a)에 도시된 트위스트 및 가변피치 트위스트 실린더의 CPb¯의 경우 축방향 의존성이 CPs¯ 대비 매우 약하기에 축방향 형상 변화가 존재함에도 불구하고 CPb¯의 축방향 값들이 거의 일정하게 보여진다. 이는 Lam & Lin (2008)의 파형 실린더에 대한 연구 및 Yoon et al. (2017)의 비대칭 파형 실린더에 대한 연구 결과와 일관성 있는 결과를 보여준다.

Fig. 8 
(a) Time averaged pressure coefficient at front and rear stagnation point and (b) difference of these values for each cylinder.

실린더 전방과 후방의 압력 차이는 구조물에 작용하는 항력으로 귀결된다는 점에서 Fig. 8(b)에 나타나는 실린더 전후방 압력 분포의 차이가 가변 피치 트위스트 실린더의 항력 저감의 이유를 잘 나타낸다. 이는 비대칭성에 의한 운동량의 분산이 후류 유동을 안정화하는 것으로부터 기인되는 것으로 판단된다.