일반적으로 균열 진전 해석을 수행할 때, Paris-Erdogan 법칙을 이용한다. Paris-Erdogan 법칙에서는 균열 진전 속도와 응력 확대 계수의 관계를 아래 식(1)로 정의한다.

여기서 C와 m은 균열 진전 실험으로부터 얻는 재료 상수이며, ∆KI는 응력 확대 계수의 변화량을 의미한다. 응력 확대 계수는 막 응력(membrane)과 굽힘 응력(bending stress)으로 구성되는 1차-응력 스펙트럼과 구조물에서 발생하는 결함의 형상과 결함의 크기, 응력 집중 계수 등과 여러 조건들을 이용하여 계산할 수 있다. 응력 확대 계수는 결함의 성장에 큰 영향을 미치는 값으로 아래 식(2)로 정의한다.

여기서 σ는 부재에 작용하는 정적 응력, a는 균열의 크기를 의미한다. Y는 형상을 고려한 보정계수이며, 결함의 형상, 국부 구조물의 형상, 용접부의 영향, 구조 부재의 불일치(misalignment), 응력 집중 계수 등과 같은 조건들을 고려하여 계산한다. 균열 진전 해석에서는 동적 하중을 받기 때문에 아래 식(3)으로 정의되는 응력 확대 계수의 변화량을 사용한다.

여기서 ∆σ는 동적 응력을 의미한다. Y∆σ는 결함의 형상과 국부 구조물의 형상에 대한 계수, 응력 집중 계수 등 여러 조건들을 고려한 보정 계수들의 곱으로 계산할 수 있다. 균열 진전 해석에서 1차 동적 막 응력(∆σm)과 1차 동적 굽힘 응력(∆σb)을 고려한 Y∆σ는 아래 식(4)로 정의한다.

위 식(4)에서 M, fw, Mm, Mb는 결함의 형상과 국부 구조물에 위치한 결함의 배열 형태에 따라 결정되는 계수이며, Mkm과 Mkb는 용접부의 영향을 고려한 보정 계수이다. km은 국부 구조물들의 축 방향과 불일치에 대한 보정 계수이며, ktm과 ktb는 불연속적인 구조물 형상으로 인한 응력 집중 계수를 의미한다.

아래 Fig. 2는 동적 응력 스펙트럼과 결함 형상이 주어졌을 때, Paris-Erdogan 법칙을 수치 적분하여 균열 진전을 계산하는 절차를 보여준다(Kang et al., 2015). 우선, 식(3)과 식(4)를 이용하여 응력 확대 계수를 계산하고, 균열 진전 해석을 수행한다. 진전된 균열을 기준으로 다시 응력 확대 계수를 계산하여 Paris-Erdogan 법칙에 적용하고 반복 계산을 수행한다.

Fig. 2. 
Crack propagation analysis procedure (Kang et al., 2015)

본 연구에서는 BS7910(2013)을 참고하여 공기에 노출된 강재의 용접부 결함에 대한 Paris-Erdogan 상수들을 사용하였고, 아래 Table 1과 같다. 두 영역으로 구분되는 피로 균열 성장률 선도를 사용하였고, 응력 확대 계수의 변화량의 하 한계점(∆kth)은 63Mpam이고 천이 되는 지점의 하 한계점은 144Mpam이다.

초기 균열의 크기도 균열 진전 해석의 결과에 영향을 미치는 중요한 인자이다. 하지만, 설계 단계에서 국부 구조물에서 발생하는 초기 균열의 크기를 예측하는 것은 어렵다. 그러므로 이전에 수행된 실험 결과를 참고하여 결정하여야한다. 본 연구에서는 선박의 용접부에서 발생하는 초기 균열 크기(a0)를 평균이 0.11인 지수 분포를 따르는 확률 변수, a0~exp(0.11) 로 정의하였으며 아래 Fig. 3과 같다(Bokalrud and Karisen, 1981).

Fig. 3. 
Initial crack size distribution

Madsen et al.(1986)은 Paris-Erdogan 법칙으로 계산한 균열 크기를 이용하여 구조물의 신뢰성을 평가하는 방법을 제안하였다. 신뢰성 평가에서는 초기 균열 크기의 분포, 검사 시기와 검사 품질 등의 불확실성 요소를 고려하며, 이 때 특정 시간 t에서 균열 크기에 대한 한계 상태 함수는 아래 식(5)로 정의한다.

여기서 af는 임계 균열 크기이다. g(t)에 대한 파손 확률(Pf)는 아래 식(6)으로 정의한다.

여기서 f(a)는 균열 진전 해석을 수행하여 얻은 특정 시점t에서의 균열 크기의 확률 밀도 함수를 의미한다. Pf는 아래 Fig. 4와 같이, f(a)의 아래 면적에서 정의역이 af보다 큰 범위에 해당한다. Pf는 몬테카를로 시뮬레이션, First Order Reliability Method(FORM) 및 Second Order Reliability Method(SORM) 등의 해석 기법을 이용하여 계산할 수 있다. 본 연구에서는 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하여 Pf를 계산하였다.

Fig. 4. 
Illustration of probability of failure

DNV-GL(2015)에서는 설계 피로 계수(design fatigue factor, DFF)와 구조물에 작용하는 하중의 불확실성을 뜻하는 하중의 변동 계수(coefficient of variation on load effect, Co Vload)에 따라서 임계 파손 확률(target probability of failure, Pf, target)을 정의하였다. 신뢰성 해석을 수행하여 계산한 파손 확률이 임계 파손 확률에 도달하는 시기에 검사를 수행하도록 제안하였다. 아래 Table 2는 Co Vload=0.2일 때, DFF에 따른 Pf, target을 보여준다. 본 연구에서는 보수적인 관점에서 구조물의 안정성을 평가하기 위해, 하중의 불확실성과 설계 피로 계수가 가장 큰 경우인, Co Vload=0.2, DFF=10에 해당하는 Pf, target=9.1×10-5을 사용하였다.

선박의 유지, 보수를 하기 위해서는 균열의 검사가 필수적이다. 일반적으로 비파괴검사(nondestructive testing)를 수행하며, 육안 비파괴검사(visual testing, VT), 초음파 비파괴검사(ultrasonic testing, UT), 와전류 비파괴검사(eddy current testing, ECT)등이 있다. ECT와 UT의 검출 확률(probability of detection, POD)은 아래 식(7)과 같이 균열 크기(a)의 함수로 정의한다.

여기서 ECT의 경우에는 c=0.161, b=1.01, UT의 경우에는 c=0.410, b=0.642이다.

비파괴검사의 미검출 확률(probability of non-detection, POND)은 여사건의 확률인 1-POD로 쉽게 정의할 수 있다. 본 연구에서 사용한 ECT의 POD 곡선과 POND 곡선은 아래 Fig. 5와 같다.

Fig. 5. 
POD and POND curves for ECT

본 연구에서는 검출 확률 90%에 해당하는 균열 크기인 1.5mm를 임계 균열 크기(af)로 사용하였다.

베이지언 추론은 베이지언 확률론을 기반으로 확률 변수의 분포를 추론하는 방법이다. 베이지언 확률론에서 확률은 ‘믿음의 정도를 나타내는 양(degree of belief)'을 의미하며, 확률이 ’전체 사건 횟수 중 특정 사건의 발현 횟수‘를 의미하는 빈도주의 추론(frequentist inference)과 구분된다. 베이지언 추론은 관측한 자료를 기반으로 원하는 대상의 정보를 추정하기 위해 머신 러닝, 딥 러닝 알고리즘에서 널리 사용된다. 베이지언 추론은 사용 목적에 따라 다양한 이론들과 결합되어 사용된다. 대표적인 예로는 베이지언-선형 회귀(Bayesian linear regression), 나이브-베이지언 분류(Naive-Bayesian classification), 베이지언-네트워크(Bayesian-network), 마르코프-체인 몬테카를로 시뮬레이션(Markov-Chain monte carlo simulation), 칼만 필터(Kalman filter) 등이 있다.

확률론적 잔류 피로 수명 평가에 베이지언 추론을 적용하기 위해서는 먼저, 균열 검사를 수행한 뒤 균열의 검출 유무에 따라서 검사 결과 I(insepction events)를 정의한다. 검사 결과 I에 대한 정보가 주어졌을 때, 확률 변수 a의 사후 확률(posterior probability)은 베이지언 정리를 이용하여 아래 식(8)로 정의한다.

여기서 p(a)는 초기 균열 진전 해석을 수행하여 예측한 균열 크기의 사전 확률(prior probability)이며, p(I)는 정규화 상수를 의미한다. p(I|a)는 우도 함수(likelihood function)이며, 균열 크기가 a일 때 검사 결과 I가 발생할 가능성을 의미한다. 그러므로 특정한 검사 결과 I에 대한 우도 함수를 아래 식(9)와 같이 정의 할 수 있다.

여기서 I=1은 균열이 검출 된 사건, I=0은 균열이 검출되지 않은 사건을 의미한다.

베이지언 추론을 이용하여 균열 검사 결과를 반영한 균열 크기의 분포를 추정할 수 있으며, 이는 초기 설계 단계에서 발생하는 불확실성의 영향을 감소시킬 수 있다. 또한, 확률을 이용하여 구조물의 안정성을 정량적으로 평가 할 수 있다. 이는 검사 시기의 결정뿐만 아니라, 검사 계획을 수립하기 위해 필요한 기대 수리 비용, 파손 시 손해 비용 등을 산정하는데 사용할 수 있다(Straub and Faber, 2005).