복합재 원통의 탄성좌굴에 대한 해석적 모델은 횡방향 전단효과(transverse shear effect)를 무시한 평균면(Mean surface)에 대해 고려한다. 제시되는 탄성좌굴 압력계산은 Messager(2001) model의 기본 관계식들을 기반으로, 단순하고 기학적 결함이 없는 원통에 대해 적용한다.

원통 외판(Shell)은 Fig. 1과 같이 길이 L, 평균 반경 R, 두께 h를 가지며, 좌표축 x, y, z와 이에 해당하는 길이방향, 원주방향 및 반경방향 변위 u, v, w를 갖는다. 원통은 필라멘트 와인딩 복합재로 제작되므로, k번째 층은 직교성과 cross-ply로 이루어지고 원통축에 대해 적층각 ±θk를 갖는다.

Fig. 1 
Geometry of the cylindrical shell

외부수압이 작용하는 원통외판에 대해 x, y, z방향으로 작용하는 내력과 외력의 평형 지배방정식은 다음과 같다.

여기서 N^x, N^y는 인장방향으로 작용하는 막력(membrane force)으로 외부수압 p에 대해 다음과 같고, 비틂 좌굴은 고려하지 않으므로 전단력 N^xy는 0 이다.

경계조건으로서 복합재 원통은 양단에서 단순지지로 가정하며, 이 경계조건을 만족하는 평균면에서의 변위를 다음과 같이 정의한다.

여기서 m과 n은 좌굴모드를 나타내는 길이방향 및 원주방향 파형의 반파장 수이고, au와 av, aw는 각각 x, y, z방향에서 최대 변위값을 나타낸다.

위 식들을 지배방정식 (2)에 대입하여 정리하면 Messager (2001)와 같은 방법으로 다음과 같은 간단한 고유치 좌굴문제를 도출할 수 있다.

여기서 [K]와 [L]은 3×3 행렬이고, Kij 및 Lij은 아래 식과 같다.

여기서 Aij는 고전적층이론(classic lamination theory)에서 정의되는 인장강성(extensional stiffness), Bij는 인장-굽힘 연성강성(extensional-bending coupling stiffness), Dij는 굽힘강성(bending stiffness)이다. 식 (5)의 고유치 문제를 만족하는 p 값 중에서 최저치가 복합재 원통의 탄성좌굴 압력 pm이 된다.

복합재 원통에 외부수압으로 좌굴이 발생하고 계속 변형이 증대되어 재료가 파단(failure)되는 시점까지 변형이 지속된다. 복합재 적층판(laminate)의 주응력 방향으로 내력이 집중되고, 이로 인해 주응력 방향의 섬유 재료(fiber material)가 파손될 때 복합재 원통이 붕괴된다고 할 수 있다. 재료응력(fiber stress)이 인장강도, 압축강도 및 전단강도에 도달하는 압력에서 재료가 파손되며 이때 복합재 원통이 붕괴된다고 간주한다.

재료응력은 적용하는 압력 p에 대해 고전적층이론을 사용하여 계산되며, 각각의 층(layer)에서 섬유방향 응력(σ1), 면내 횡방향 응력(σ2 ) 및 면내 전단응력(τ12 )으로 분리할 수 있다. 이 응력들의 인장, 압축 및 전단 강도(XT, XC,YT , YC, St)에 대한 비를 계산하고, 다음과 같이 최대 파손지수(FI, Failure Index)를 결정한다.

그러므로 재료파손 압력 pf는 다음 식과 같이 적용 압력 p를 파손지수로 나누어 구할 수 있다.

앞 절에서 구한 원통 탄성좌굴 압력 pm과 재료파손 압력 pf을 식 (1)의 원통 붕괴압력 설계식에 대입하여 붕괴압력을 도출할 수 있다. 이렇게 해석적 방법으로 구한 붕괴압력과 수압실험으로 얻은 붕괴압력을 비교해보면, 해석적 방법의 붕괴압력 pcri이 수압실험의 붕괴압력 pcrexp에 비해 크게 도출된다. 이는 제작된 원통 모델에는 제작상의 결함이 포함되었기 때문으로 판단되며, 이를 고려할 수 있는 감쇄계수(reduction factor) γ를 도입할 필요성이 있다. 따라서 감쇄계수를 다음과 같이 압력선체 구조에 적용하는 형태로 정의한다(Cho, 2005; ROKN, 2016).

도입된 감쇄계수 식의 각 항의 계수들은 수압실험 결과를 활용하여 경험적으로 결정되었으며, 최종적으로 예측되는 원통 붕괴압력 pcrprd을 다음과 같이 구한다.

필라멘트 와인딩 복합재 원통의 붕괴압력은 최종적으로 식 (10)으로부터 도출될 수 있으며, 이와 같이 제안된 방법으로 구한 붕괴압력을 수압실험 결과와 비교한다.

수압실험을 위해 제작된 필라멘트 와인딩 복합재 원통의 적층각은 Fig.4와 같이 적층각 ±θ°의 나선형 적층부와 적층각 90°의 원주방향 적층부로 이루어진 [±30/90], [±45/90], [±60/90]과, 나선형 적층부로만 이루어진 [±60]이다. 사용된 복합소재는 T700으로서 재료 물성치는 Table 1과 같다.

모두 20개의 복합재 원통을 제작하여 붕괴압력을 측정하였으며, 원통의 모델명과 길이, 반경, 전체두께, 원주방향 두께는 Table 2와 같다(Cho et. al., 2009).

Fig. 2는 수압실험의 개념도와 압력챔버, 실험 준비현황을 나타내며 Fig. 3은 실험에 사용된 복합재 원통의 제작된 모형을 나타내고 있다(Cho et. al., 2009). Fig. 4는 복합재 원통 외판의 적층 절차를 보이고 있다.

Fig. 2 
Schematic figures for hydrostatic test

Fig. 3 
Composite cylinder specimens for the hydrostatic pressure test

Fig. 4 
Stacking sequence of the composite shell : [±𝜃/90]_FW

Fig. 5와 Fig. 6은 각각 복합재 원통의 전형적인 붕괴 모드와 국부좌굴 모드를 보여주고 있다. 실험된 모델들은 초기에 좌굴모드 (3,1) 즉 원주방향으로 3 반파장 및 길이방향으로 1 반파장의 모드로 붕괴를 시작하며, 최종적으로 재료가 찢기는 형태로 파손된다. 그러나 몇 개의 모델에서는 국부적인 변형이 관측되었고, 이러한 국부적인 변위는 재료의 기하학적인 초기결함으로 기인된 것으로 판단된다(Moon et al., 2010)

Fig. 5 
Typical final failure modes of the composite shells : [±45/90]_FW and [±60/90]_FW

Fig. 6 
Typical local buckling modes of the composite shells : [±30/90]_FW and [±60/90]_FW

외부 수압을 받는 복합재 비보강 원통의 허용압력 추정을 위한 식으로 ASME(2007)는 다음과 같은 식을 제시하고 있다.

여기서, Pa는 허용압력(psi), Do는 원통의 외경(in), L은 원통의 길이(in), t는 원통의 두께(in)이며, Eat는 축방향 인장계수(psi), Ehf는 원주방향 휨계수(psi), vx 와 vy는 각각 축방향과 원주방향의 휨 프와송비(Poisson's ratio)이다. 또한 F는 안전계수, KD는 강도저하계수(knock-down factor)로 0.84의 값을 갖는다. γ는 실험결과를 반영한 감쇄계수(reduction factor)로 Zp가 100과 같거나 작으면 r=1-0.001 Zp 이고 100보다 크면 γ=0.9 가 된다 여기에서 Zp는 다음과 같다.

여기에서 Eaf 는 축방향 휨계수(psi)이다.

적층판의 공학적 계수(Ehf,Eat,Eaf,vx,vy)는 각 적층의 재료 물성치 E1, E2, v12, G12와 두께 t가 주어지면 적층판에 고전적층이론(CLT, Jones 1999)을 적용하여 구한다. 먼저 ABD 행렬을 구하고 이에 대한 역행렬(Inverse matrix)을 통해 다음 식으로 구한다.

NASA SP-8700에서 제공하는 복합재 비보강 원통에 대한 좌굴 압력식은 다음과 같다(NASA, 1968).

여기서,

여기서, R는 원통의 반경, L은 원통의 길이, F는 안전계수이고, n과 m은 원통의 최소 좌굴압력을 도출하는 정수이다.

Table 3은 제작된 원통에 대해 ASME 및 NASA 식으로 추정된 좌굴압력 값과 수압시험으로 측정된 붕괴압력을 나타내고 있다. ASME (2007)의 경우에 수압실험으로 측정된 붕괴압력에 비해 좌굴 식을 사용하여 추정된 값들이 1.43~3.53의 오차계수(Error factor)를 가지며 작게 나타나고 있으며, NASA SP-8007의 경우에도 수압실험으로 측정된 붕괴압력에 비해 좌굴 식을 사용하여 추정된 값들이 1.14~1.49의 오차계수를 보이며 작게 나타나고 있다. ASME (2007)의 식은 복합재 원통재료의 강성을 원통 길이방향 및 원주방향의 강성으로만 취급하도록 식을 제시하므로 오차가 크게 발생하는 것으로 판단되며, NASA SP-8007 식은 복합재 원통의 탄성좌굴만을 고려하므로 오차가 발생하는 것으로 판단된다(Cho et. al., 2019). NASA SP-8007의 추정식이 ASME (2007)의 추정식에 비해 작은 오차계수를 나타내고 있으나, 실제 복합재 원통의 붕괴압력 추정식으로 적용하기에는 오차가 크다고 볼 수 있다.

본 절에서는 본 논문에서 새롭게 제안된 복합재 원통설계식을 이용하여 추정된 붕괴압력을 3.1절의 실험 결과와 비교하고, 또한 MSC/NASTRAN을 이용하여 계산된 유한요소해석 결과와 비교하여 제시한다.

Table 4는 제안된 강도추정식을 사용하여 예측한 붕괴압력 pcrprd과 유한요소해석 결과 pcrfea 및 실험 결과 pcrexp를 나타내고 있다. 실험치에 대한 제안식의 예측치 비 pcrexp / pcrprd 로서 오차계수는 0.95-1.26의 범위에 있고, 평균 1.10, 표준편차는 0.0092이다. 변동계수(COV)는 0.83%로 나타나고 있다. 반면에 유한요소해석으로 도출된 붕괴압력 pcrfea는 오차계수 범위로서 0.89- 1.21, 평균 1.04, 표준편차 0.0078, 변동계수 0.75%를 나타내고 있다. 이 결과로부터 제안된 식은 유한요소해석 결과에 비해 오차 범위가 약간 크게 나타나고 있으나, Table 3의 ASME (2007) 및 NASA SP-8007와 비교하여 비교적 정확한 결과를 도출하고 있다. 따라서 제안된 식은 필라멘트 와인딩 복합재 원통의 붕괴압력 추정에 유용하게 활용될 수 있을 것으로 판단된다(Cho et. al., 2019).

복합재 원통의 좌굴붕괴 압력과 거동 분석을 위해 3.1절의 실험모델들을 대상으로 유한요소해석이 수행되었다.

MSC/NASTRAN이 사용되었고, 4-절점 요소인 CQUAD4 요소를 선정하여 적용하였다. 복합재 원통 외판의 적층 개수는 비선형 유한요소해석의 계산시간을 절약하기 위해 5개 층으로 모델링하였으며, 모든 적층 개수를 고려한 모델링 경우와 거의 같은 붕괴하중이 도출되었다(Hur et. al., 2008). Fig. 7에서 길이방향 및 원주방향 요소 크기 및 개수는 실험모델들의 붕괴압력을 잘 도출할 수 있도록 선정하였고, 초기 기하학적 결함은 고려하지 않았다. 유한요소해석은 NASTRAN의 비선형정적해석(SOL 106)으로 수행하고, 하중크기 및 하중증분은 해의 수렴을 위해 적절하게 선정되었다. 모든 원통의 붕괴모드는 Fig. 8에서 보이는 바와 같이 (3,1) 모드로 나타나고 있으며, 유한요소해석의 붕괴압력 결과는 Table 4와 같이 실험치와 비교하여 상당히 잘 일치하는 경향을 보이고 있다(Cho et. al., 2019).

Fig. 7 
Typical FE model of the composite cylinders

Fig. 8 
Typical shapes during the failure process of [±30/90]_FW in NLFEA

필라멘트 와인딩 복합재 원통은 Fig. 1과 같이 길이 L, 반경 R, 두께 h를 지니며, 원통 외판은 동일한 두께를 가진 ply로 구성된 N 개의 적층 개수를 지닌다. 각각의 ply는 필라멘트 와인딩 적층각 θi를 가지며, 원통 축에 대해 +θi와 -θi 방향으로 같은 양의 섬유가 균등하게 분포되어 있는 cross-ply로 가정한다.

복합재 원통의 적층 절차는 [θ1/θ2/⋯/θN]로 표기하고, 원통의 안쪽 면부터 시작한다. 실제 제작과정에서 필라멘트 와인딩 각도 θi는 허용될 수 있는 몇 개의 값(Θj,  j=1, ⋯ ,M)으로 한정하여 선택하도록 한다. 따라서 최대 좌굴강도를 갖는 복합재 원통 구조의 외판 적층 최적화 문제는 다음과 같이 표현된다.

Subject to : ply angle θi ∈ {Θ1, Θ2, ⋯ ,ΘM}

To find : best lamination [θ1/θ2/ ⋯ /θN]OPT

여기서, f(X) : 복합재 원통의 붕괴압력 pcr(X)

θi : i번째 ply의 필라멘트 와인딩 적층각

필라멘트 와인딩 복합재 원통의 최대 붕괴강도를 도출하는 적층 설계를 위해 유전 알고리즘을 활용하여 최적화 설계절차를 Fig. 9과 같이 수립한다.

Fig. 9 
Optimization design scheme for the composite cylinder

먼저 입력 자료로서 원통의 형상(길이, 반경)과 적층 수(원통 외판두께), 복합재료의 기계적 성질이 주어진다. 그러면 복합재 원통 설계식 (1)을 이용하여 설계변수로서 각각의 적층면에서의 적층각 조합에 대해 붕괴압력을 계산하며, 유전 알고리즘의 최적화 절차에 따라 최적 적층방법을 탐색하게 된다. 최종적으로는 최대 붕괴압력 pcrOPT에 해당하는 최적의 적층 방안(best lamination) [θ1/θ2/ ⋯ /θN]OPT을 도출하게 된다.

유전 알고리즘은 생물학적 진화이론인 자연선택과 적자생존 원리를 이용하고 다수의 개체로 구성된 해 집단을 구성하여 해를 탐색하는 조합최적화 기법이다.

유전 알고리즘은 개체(individual)들의 목적함수와 구속조건의 위반 정도에 따라 개체들의 적합도(fitness)를 평가하여 적합도가 높은 개체들만 다음 세대의 새로운 개체군 구성에 참여하도록 한다. 새로운 개체들은 선택(selection), 교배(crossover) 및 돌연변이(mutation)와 같은 생물학적인 연산자를 사용하여 얻어지며, 세대를 반복하며 최종적으로 가장 적합한 개체를 도출하게 된다.

본 연구에서는 유전 알고리즘의 개체수를 감소시켜 연산 시간을 줄이도록 제안된 마이크로 유전알고리즘(micro genetic algorithm)을 적용한다(Goldberg, 1989; Krishnakumar, 1989). Cho & Paik(2017)은 압력선체 구조설계에 적용하여 마이크로 유전알고리즘을 이용한 구조물의 최적설계 효율성을 검증하고 구조설계특성을 검증한 바 있다. 따라서 본 논문에서는 마이크로 유전알고리즘을 복합재 원통 설계에 적용하여 최적의 적층절차(stacking sequence)를 효과적으로 생성하도록 한다.